【Real analysis(5)】连续性与拓扑

2017年07月30日

Author: Guofei

文章归类: 5-1-代数与分析，文章编号: 92205

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原文链接：https://www.guofei.site/2017/07/30/continuitytopology.html

函数的连续性也可以有拓扑含义。

定义在R上的连续函数

回顾一下通常意义上的连续函数（定义在实数集上的连续函数）

符号意义：
A是一个集合
f(A)={f(x)∣x∈A}
f−1(A)={x∣f(x)∈A}(即使f不是一一映射，也可以被定义)

定理：
如果f:R→R
有这些结论，

证明提要：
先回顾开集的定义，见于另一篇博客
G⊂X,∀x∈G,∃r>0∋Br(x)⊂G,那么把G叫做开集
如果G⊂X,并且G的补集˜G是开集，那么G是闭集。
区域是连通的,如果他不能被两个不相交的开集覆盖而这两个开集与原集合的交都非空。

G是开集，f(G)未必是开集，例如：

f(x)=x2(x2−2)
f((−1,1))=(−1,0]

如果F是闭集并且有界，那么F一定是紧集（海涅-伯雷尔定理）
根据定理4，如果F是闭集并且有界，那么f(F)也是紧集

如果F是闭集并且无界，那么f(F)不一定是闭集，例如：
F={−nπ∣n=0,1,2,...},f(x)=excosx

拓扑空间上的连续函数 的定义:
f:X→Y是一个函数，X,Y是拓扑空间
如果:∀G∈X,如果G是开集，那么f−1(X)也是开集。那么f是连续的

这个定义是从R上的连续函数的性质推广而来的。
拓扑空间上的连续函数也有一系列的定理。

数量金融导论:数学工具箱(324-326)
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