【Mento Carlo 1】背后的数学理论

2017年08月17日

Author: Guofei

文章归类: A蒙特卡洛方法，文章编号: 10001

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原文链接：https://www.guofei.site/2017/08/17/montecarlotheory.html

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简介

很多地方，仿真与 蒙特卡洛 不做区分，但实际上他们是有区别的

仿真是指利用系统设计独立的U(0,1)分布的均匀数，在计算机上进行可控的模拟实验
Mento Carlo指的是利用仿真所获得的数据，去估计积分（或求和）的方法

定积分的求解

求I=∫+∞0xα−1e−xdxI=∫0+∞xα−1e−xdx

解法

step1:构造问题的解

如果X∼f(x)=e−xX∼f(x)=e−x,那么， EXα−1EXα−1就是问题的解

step2：计算问题的解

生成需要的随机数，用样本均值∑Xα−1in∑Xiα−1n来估计EXα−1EXα−1

其原理类似点估计

step3：估计仿真的误差

上面说了，原理类似点估计，那么便可以根据类似的原理，计算需要多少次仿真模拟才能达到给定的误差。

如果进行n1n1次小规模的仿真模拟后，样本标准差是s1s1,方差是s21s12
目标是进行n2n2次仿真模拟，使得标准差达到ss（注意，这是X¯X¯的标准差）

求解方法：
Es21=DXEs12=DX

DX¯1=1n1DXDX¯1=1n1DX

DX¯2=1n2DXDX¯2=1n2DX

如果想让X¯2X¯2达到规定的标准差ss,需要n2=s21s2n2=s12s2

寻找迭代速度更快的模拟法

随机变量并不唯一：
I=∫+∞0xα−1e−xdx=∫+∞0xα−2xe−xdxI=∫0+∞xα−1e−xdx=∫0+∞xα−2xe−xdx

如果X∼f(x)=xe−xX∼f(x)=xe−x,那么， EXα−2EXα−2也是问题的解

不同的随机变量，需要的仿真次数是不一样的。

练习题1

用1000次蒙特卡洛计算∫+∞−∞exp(−x2)∣cosx∣dx∫−∞+∞exp(−x2)∣cosx∣dx，如果已经产生了1000次模拟的结果，求95%置信区间。

练习题2

单位正方形区域[0,1]2[0,1]2随机选择两个点，D是这两个点的距离
求：P(D>1.4)P(D>1.4)

提示，这个概率值非常小，为了提高计算效率，可以把问题分解：
step1:排除不可能的情况，如果点在某个圆内，不可能发生
step2:在余下的情况下做仿真。
step3:用条件概率解出最后结果。

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