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三次样条曲线
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三次样条曲线 | 沉默杀手
三次样条曲线
2022-07-08|数学基础|
Word count: 362|Reading time: 1 min
多项式插值会有两个问题。
- 随着多项式的阶数越来越高，计算量也越来越大。
- 随着多项式的阶数越来越高，插值精度并不会越来越高，恰恰相反，函数曲线会出现剧烈的振荡，即龙格现象。
什么样的插值函数，既能穿过所有已知点又能避免龙格现象（剧烈的震荡）呢？
答案是用分段函数插值。就是把所有的已知数据分割成若干段，每段都对应一个插值函数，最终得到一个插值函数序列。
分段函数之间彼此衔接不好怎么办？
答案是，高次样条差值。既每个分段函数都采用高次函数形式来构造（三次样条差值 就是用x的三次方形式构造）这就保证了多个函数之间的衔接光滑。（注：不能用过高阶的函数，否则抖动太剧烈。）
三次样条插值就是把已知数据分割成若干段，每段构造一个三次函数，并且保证分段函数的衔接处具有0阶连续，一阶导数连续，二阶导数连续的性质（也就是光滑衔接）。
一阶连续意味着曲线y=S(x)没有急转弯，没有特别剧烈的跳变。二阶连续意味着每个点的曲率半径有定义。
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