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三次样条曲线

 6 months ago
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三次样条曲线 | 沉默杀手

三次样条曲线
2022-07-08|数学基础|
Word count: 362|Reading time: 1 min

多项式插值会有两个问题。

  1. 随着多项式的阶数越来越高,计算量也越来越大。
  2. 随着多项式的阶数越来越高,插值精度并不会越来越高,恰恰相反,函数曲线会出现剧烈的振荡,即龙格现象。

什么样的插值函数,既能穿过所有已知点又能避免龙格现象(剧烈的震荡)呢?
答案是用分段函数插值。就是把所有的已知数据分割成若干段,每段都对应一个插值函数,最终得到一个插值函数序列。

分段函数之间彼此衔接不好怎么办?

答案是,高次样条差值。既每个分段函数都采用高次函数形式来构造(三次样条差值 就是用x的三次方形式构造)这就保证了多个函数之间的衔接光滑。(注:不能用过高阶的函数,否则抖动太剧烈。)

三次样条插值就是把已知数据分割成若干段,每段构造一个三次函数,并且保证分段函数的衔接处具有0阶连续,一阶导数连续,二阶导数连续的性质(也就是光滑衔接)。

一阶连续意味着曲线y=S(x)没有急转弯,没有特别剧烈的跳变。二阶连续意味着每个点的曲率半径有定义。


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