如何获得飞机运动方程

一、什么是惯性坐标系
二、飞机主要使用的坐标系
三、非惯性坐标系下的牛顿第二定律
四、施加在飞机上的力和力矩

前面一篇文章J Pan：飞机是怎么飞起来的 引起了很多人的兴趣，在私信和留言里面大家讨论了很多其实是关于飞机控制的问题，说明大家对航空知识的热情还是很高的，这自然是好事情，因为这个事情在美国，NASA每年是需要花费大量资金来做的。

说到飞机控制，一般称之为飞行控制，主要解决飞机的稳定性和操纵性问题，而这两者往往是矛盾的，是需要权衡的，比如军机就要机动性好，也就是操纵性强，而民机则要求稳定性好。要进行飞行控制，首要解决的是飞机飞行时的建模问题，这一部分相对比较繁琐，也是很多人望而却步的一部分，然后又是一切工作的基础，没有模型，谈何控制呢？

飞机建模，要从坐标系说起，就是要解决飞机在三维空间中的运动是如何描述的，本质就是如何在非惯性坐标系下建立牛顿第二定律。

一、什么是惯性坐标系

三维空间中，忽略飞机的弹性变形，飞机可以看成是一个刚体，其运动可以用两个概念来表示：平移和旋转。

平移，可以用向量来表示，因为它不仅有大小，还有方向。为了描述向量，应该先确定一个具体的坐标系，明确该坐标系的线性基 后，才能够确定一个向量 在该坐标系下的坐标：

称之为坐标值，注意坐标值和向量并不是完全等价的，这是我们常常忽略的部分，坐标值和坐标系合在一起才能描述向量的完整信息。话句话说，向量是客观存在的，它是不随坐标系变化的，但是它可以通过某个坐标系及其在该坐标系下的坐标值进行描述。注意坐标系的选取可以是任意的，比如我们也可以选择坐标系 ，此时：

显然，同一个向量，在不同的坐标系下，其坐标值是不同的，向量坐标的具体取值，和向量本身和选取的坐标系相关。那是不是就意味着我们可以随意选择坐标系呢？——答案是否定的，因为有些坐标系，有一些特殊的性质，我们可以加以利用，最常用的坐标系是——惯性坐标系。

简单点来说，如果有一个坐标系，不受外力时，一切物体总保持与参考系的匀速直线运动状态或相对静止状态，那它就是惯性坐标系，反之则不是。这是牛顿第一定律确定的事。

比如对于我们碰到的大多数问题而言，地球就可以看成是一个近似理想的惯性坐标系，相对于地球静止或者做匀速运动的参考系，也可以认为是惯性坐标系。在惯性坐标系，牛顿第二定律可以表示为：

如果一个坐标系相对于惯性坐标系有加速度，则该坐标系不是惯性坐标系。比如，你在高铁的桌面上放一个小球，假设桌面是完全光滑的，高铁加速时，高铁上的人会发现小球运动。很容易发现小球运动状态的改变并非受力的原因。所以，这时的高铁就是非惯性系。

这个时候牛顿第二定律就不是 了，因为没有力，也能产生加速度——因为我们采用的坐标系（加速的高铁）相对于惯性坐标系产生了加速度，这样在非惯性系里面，需要对牛顿第二定律 的形式进行修正。

如果能选择惯性坐标系作为参考坐标系，那自然是最好的，我们可以直接利用牛二定理的简洁形式，但是对于飞机而言，事情要更复杂一点，请看下图：

飞机的运动姿态可以加速的高铁复杂多了，因此坐在飞机上的飞行员，天然会以自己的视角作为参考系，飞行员可以看成和飞机固连在一起，因此此时飞机的机体作为了一个参考坐标系，而这个参考系，很显然是非惯性坐标系。

当然不仅仅于此了，我们知道，飞机的升力来自于空气，也就是说，研究气动力的时候，最好以气流的方向作为参考系，这也是一个非惯性参考系。

实际上还有其他坐标系需要用，我们需要详细了解其中几个比较重要的。

二、飞机主要使用的坐标系

最常用的坐标系当然是地面坐标系（Ground axis），固定于大地表面，原点为海平面或地面某点，轴OZ铅锤向下，轴OX和OY在水平面内，只要满足右手直角坐标系要求，在大地上的方向可以任意选取。

另一个重要的坐标系是机体坐标系（Body axis），与飞机固连在一起，原点O位于飞机的质心，轴OXb平行于机身轴段或机翼平均气动弦，指向机头方向，OYb沿飞机的对称方向，OZb满足右手定则，示意图如下：

机体坐标系和地面坐标系的关系如下：

——偏航角（angle of yaw）：

——俯仰角（angle of pitch）；

——滚转角（angle of roll）：

也就是，地面坐标系通过 三个角度的旋转（顺序关系不能乱哦）就可以变换到机体坐标系。

有了机体坐标系，我们还要衍生出另外两个常用且重要的坐标系，即气流坐标系（Wind axis）和稳定性坐标系（Stability axis）。

先来说一下稳定性坐标系，如下图所示：

它是由机体坐标系沿Y轴旋转 角度（攻角或迎角）得到的，当不考虑侧风的时候，即空气沿飞机机体的X轴线运动，气动力在该坐标系下很容易的到。

对于有侧风的情况，要略微再复杂一点，即将稳定性坐标系沿该坐标系的Z轴旋转 角度（侧滑角）得到，示意图如下：

——攻角或迎角（angle of attack or angle of incidence）；

——侧滑角（angle of side slip ）；

至此，最重要的几个角度定义基本齐活了。

说到这，我们就可以稍微总结一下：我们要对飞机建模，就要有坐标系；坐标系有惯性系和非惯性系两种，而牛顿第二定律 只在惯性系成立；飞机机体是一个非惯性坐标系，那在非惯性坐标系下，牛顿第二定律长什么样子呢？

三、非惯性坐标系下的牛顿第二定律

我们知道，在惯性坐标系力里面，牛顿第二定律为：

这是高中知识，到了大学之后，我们一般写成更通用的形式：

即动量的变化率是力，角动量的变化率是力矩。现在我们就要看一下这两个公式在非惯性坐标系下是什么样的。

3.1 非惯性坐标系下的力平衡方程

注意，以下讨论都是基于机体坐标系进行的，假定机体坐标系的线性基在 三个方向的线性基为 （该坐标系在绕地面坐标系旋转），则任意一个在惯性坐标系下的向量 在机体坐标系下可表示为：

则向量 随时间的变化为：

对上式的右半部分进行微分，注意 以及 都是变量，可以得到：

表示机体（body）坐标系绕惯性（inertial）坐标系旋转矢量， 分别为机体坐标系绕地面坐标系的滚转角速率，俯仰角速率以及偏航角速率。至于

是怎么得到的，大家感兴趣可以翻阅一下刚体力学的教材，可以通过基本定义得到，这里不详细推导。将矢量形式写成矩阵形式为：

有了前面的铺垫，后面就方便多了，假设飞机的速度矢量（在惯性坐标系）为 ，

为速度矢量在机体坐标系下的坐标值。则速度矢量的可在机体坐标系表示为：

在惯性坐标系，满足牛顿第三定律：

同时，可以将在惯性坐标系的里转换到机体坐标系：

综合以上各式：

展开即可以获得：

3.2 非惯性坐标系下的力矩平衡方程

有了前面的铺垫就简单多了，在惯性坐标系下：

其中角动量的定义为：

为飞机中任意一微元在地面参考系中的矢量，其可在机体坐标系中表示为：

则速度矢量可表示为：

于是可以的到地面参考系中的角动量方程：

其中 等为飞机在机体坐标系惯性矩，飞机各平面的定义方式如下：

由于飞机沿 轴的对称性，有

所以可以简化为

由机体坐标系和地面坐标系的转换关系，可以得到：

展开后为：

其中 分别为滚转力矩、俯仰力矩和航向力矩。注意，由于历史原因， 有时候表示升力（lift），又是表示滚转力矩，可通过上下文区分。

可见，力矩平衡方程主要组成包括三部分，即角加速度项（angular acceleration terms），角速率进动项（gyro precession terms）和耦合项（coupling terms）。下面我们分别来解释一下。

角加速度项是最容易理解的，以滚转力矩方程为例，忽略进动项和耦合项，有：

啥意思呢？——如果有一个滚转力矩加在飞机上，比如副翼有个偏转，加速度项表明飞机回产生一个滚转角加速度，转动惯量 越大，获得的角加速度就越小，这是我们非常熟悉的概念。

再来看看进动项，为简单起见，我们还是先忽略加速度项和耦合项，同时假定 非常小，也可以忽略，这时候滚转力矩平衡方程就简化为：

这样还是看不出来什么，再稍微变个形：

式中 表示俯仰轴的角动量（转动惯量乘以角速率），假如飞行员给副翼一个偏转指令，产生滚转力矩 ，从这个方程可以看出，飞机在出现翻滚的同时，还会出现一个航向的运动 ，这就是我们常说的荷兰滚。

耦合项描述了飞机的惯性耦合倾向。说着有点拗口，还是拿公式分析一下，忽进动项，假定零偏航速率（R），施加的俯仰力矩（M）也为零，有：

这个方程表示啥意思呢？——飞行员在做翻滚运动时（P），飞机会出现一个俯仰角加速度，出现非期望的抬头，如果不进行压杆控制，就可能会出现飞行事故。在上世纪40-50年代，人们对于耦合项的理解还不是很深入时，就出现过几起这样的事故。

四、施加在飞机上的力和力矩

前面我们得到了飞机的六自由度运动方程，这些方程之间是相互耦合的，给我们分析飞机的行为带来了很大的困难，通过对这六个方程深入研究，我们发现，可以将其分成两组，这两组耦合性相对较小——一组我们称之为纵向方程组，一组称之为横航向方程组。

纵向方程组为一个旋转，两个平动：

横航向为两个旋转，一个平动：

好了进行到现在，我们还是只解决了飞机运动方程的左半部分，而右半部分的力及机具还完全没有分析。

我们知道，飞机飞行时，受到的的力主要有三种：重力、气动力以及发动机推力，其中气动力又可以分为升力和阻力。产生的力矩主要有两种：气动力矩和发动机偏转力矩（矢量发动机），先来看看力。

重力显然在地面坐标系描述比较简单；气动力在气体坐标系下描述比较简单；当不考虑侧风时，在稳定性坐标系下描述简单；发动机推力在机体坐标系下描述比较简单。最通用的做法就是把他们都统一到机体坐标系（可通过坐标变换实现），这时飞机受到的力以及力矩为：

力矩的产生比较复杂，一般通过飞机的吹风或者CFD计算确定，具体处理方式后续线性化的时候再说。

参考文献：

1. Thomas R. Yechout. Introduction to Aircraft Flight Mechanics Performance, Static Stability, Dynamic Stability, and Classical Feedback Control. AIAA