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平面的表示方法和坐标系变换
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平面的表示方法和坐标系变换
2022-12-03|数学基础|
Word count: 364|Reading time: 1 min
高中学过的表示方法为 ax+by+cz=dax+by+cz=d，法向量为 (a,b,c)T(a,b,c)T。这里涉及到了归一化问题，两边可以乘以系数，还是同一个平面，也可以说法向量是不唯一的。但如果给出了一般式 ax+by+cz=Dax+by+cz=D，就说法向量为 (a,b,c)T(a,b,c)T
空间内一点(x0,y0,z0)(x0,y0,z0) 到平面的距离是 |ax0+by0+cz0|a2+b2+c2√|ax0+by0+cz0|a2+b2+c2，如果已经归一化，那么分母就是 1
法向量可以看做平面上两个向量的叉积。
法向量 * 距离形式
N为法向量(1x3的向量)，那么[N, d]或者(N | d)为1x4的向量，其中d为平面到原点的距离。
现在平面的表示形式(无论哪种)都是基于坐标系A，另有一个坐标系B，从B到A的变换矩阵是M(4x4)，那么平面在坐标系B下的表示形式是什么？
向量 P=(a,b,c,d)P=(a,b,c,d)，注意不是法向量，平面上一点为 v=(x,y,z,1)v=(x,y,z,1)，那么 PTv=0PTv=0，经过变换后，点v变成了 v′v′，那么有 P′Mv=0P′Mv=0，也就有P′Mv=PTvP′Mv=PTv，因此可得 P′=(M−1)TpP′=(M−1)Tp，M矩阵的逆根据《SLAM十四讲》的公式3.13可以直接写出，最后根据 P′P′ 写成一般式
感觉这样推导并不严谨，但可以这样理解。
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