一道几何题的证明

一道几何题的证明

Wed May 6, 2015

这是一道来自高中数学的几何题。值得纪念一下，因为它有好几种证明的办法。有的办法简单，有的办法麻烦。

问题是这样的：如图，矩形的边长AB=a,BC=b，而P是CD上的动点。问：∠APB什么时候最大？并说明理由。

根据直觉可知，当P是CD的中点的时候，∠APB应该最大。

直觉虽然有重要的提示作用，但是有时也不很可靠，所以并不能作为推理的依据。现在让我们忘记直觉，按照一般的分析办法来处理这个问题。

设DP=x(0≤x≤a)，则CP=a−x。根据勾股定理：

AP2=x2+b2,BP2=(a−x)2+b2.

根据余弦定理： cos⁡∠APB=AP2+BP2−AB22AP⋅BP=x2+b2+(a−x)2+b2−a22x2+b2(a−x)2+b2=x2−ax+b2(x2+b2)(x2−2ax+a2+b2).

因为余弦函数在[0,π]内是单调递减的，所以要使∠APB最大，只须cos⁡∠APB取最小值即可。

这样，问题转化为一元函数的最值问题。高中数学提供了导数这个有用的工具，可以有效地求出各种初等函数的最值。方法如下：

设最后一个等号右边的表达式为f(x)，首先计算要导数。

设 u=x2−ax+b2,v=(x2+b2)(x2−2ax+a2+b2)=x4−2ax3+(a2+2b2)x2−2ab2x+(a2+b2)b2. 那么 f′(x)=(uv)′=u′v−u(v)′v=u′v−uv′2v32, 其中 u′=2x−a,v′=4x3−6ax2+(2a2+4b2)x−2ab2,u′v=2x5−5ax4+4(a2+b2)x3−a(a2+6b2)x2+2(2a2+b2)b2x−ab4−a3b2,uv′2=2x5−5ax4+4(a2+b2)x3−a(a2+6b2)x2+2(0a2+b2)b2x−ab4,u′v−uv′2=2a2b2x−a3b2=a2b2(2x−a).

一般来说，教科书通常是轻描淡写地就把计算结果给求出来了。实际上这一步计算是很繁的，对初等代数的运算能力是一个巨大的考验。借助计算机代数系统(CAS)来求导数可能会是一个好主意。

幸运的是导函数分子中2次以上的项全都消掉了，由此得到唯一的驻点x=a2。事实上，当0<x<a2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当a2<x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增。这样，我们无需计算边界处的函数值就可知，当x=a2时，f(x)取得最小值。

综上所述，当P是CD中点时，∠APB最小。

另一种做法是不用余弦定理而改用其他的三角恒等式。根据图形可知tan⁡∠PAD=xb,tan⁡∠PBC=a−xb。所以根据余切公式 cot⁡∠APB=1−xba−xbxb+a−xb=x2−ax+b2ab.

余切函数在(0,π)上也是单调递减的。所以问题转化为求上述函数（记为f(x)）的最小值。计算导数 f′(x)=2x−aab

得唯一驻点x=a2。通过类似的讨论可知这是最小值点。所以当P是CD中点时，∠APB最小。

不计算导数也无所谓。因为余切函数是关于x的二次函数，且开口向上，自然在对称轴处取得最小值。

由此可见计算切函数要比计算余弦函数在计算上来得方便地多。

如果知道反正切函数，那么 ∠APB=arctan⁡xb+arctan⁡a−xb.

根据反正切函数的凸凹性，得 arctan⁡x1+arctan⁡x22≤arctan⁡x1+x22∀x1,x2∈(0,+∞). 于是 ∠APB≤2arctan⁡a2b, 当且仅当x=a2等号成立，此时∠APB取得最大值。这种方法更简单了，只不过超出了高中数学的范围。

除了微积分以外，还可以使用算术-几何平均不等式来求解最小值问题。

算术-几何平均不等式说的是正数的几何平均数不大于算术平均数，即uv≤u+v2,当且仅当u=v时，取等号。这个不等式在高中数学课本中被称为“基本不等式”，其重要性可见一斑。

用不等式求最值的原理是：如果不等式的一边是定值，并且等号能够成立，那么这个定值一定就是另一边的最值。

对于刚才求出来的余切函数 cot⁡∠APB=b2−x(a−x)ab.

使用基本不等式很容易得到：x(a−x)≤(a−x2)2。所以取x=a−x也就是x=a2时，余切取得最小值。

如果是余弦函数，情况会复杂一些，但是仍然可以使用基本不等式来求出最小值。

将基本不等式两边平方并移项化简，可得uv≤u2+v22。两边同加上u2+v22，则得 u2+v2≥(u+v)22. 这个不等式也将在求最小值的过程中起到作用。

刚才已经得到cos⁡∠APB=x2+(a−x)2+2b2−a22x2+b2(a−x)2+b2.

根据上面提到的两个不等式，有 2x2+b2(a−x)2+b2≤x2+(a−x)2+2b2x2+(a−x)2≥[x+(a−x)]22=a22.

所以 cos⁡∠APB≥x2+(a−x)2+2b2−a2x2+(a−x)2+2b2=1−a2x2+(a−x)2+2b2≥1−a2a22+2b2=4b2−a24b2+a2.

当且仅当x=a−x即x=a2时，两个不等式同时取等号，cos⁡∠APB取得最小值。

使用不等式求最值的好处是，相比求导而言，计算更容易些，并且最值点和最值同时求得，无需多余的代入计算。但是不等式的应用范围不如导数广：只有一些特殊的表达式可以使用不等式求出最值，而且这些特殊的形式也不一定一眼能够看得出来，有时候需要一定的技巧。

最后，抛弃代数，用纯几何的办法，也可以证明这个结论。

如图，取CD的中点E，作圆弧AEB⌢。假设P不是CD的中点，那么设AEB⌢和AP的交点是Q。连结BQ。根据圆周角定理，∠AQB=∠AEB.另一方面，因为∠AQB是△PQB的外角，有∠AQB>∠APB.所以∠APB<∠AEB.所以只有P是CD中点的时候，∠APB才最大。

纯几何的办法，实质上没有任何的计算，所以可以算是最简单的一种做法。这题能用几何做法很可能是凑巧（实际上这是一道经典的最值问题，几何做法也是经典解法）。另外，还需要解题者事先知道P在CD中点这样的结论，这需要靠直觉。只有经验丰富的人才能识别出这个问题，然后给出这样一种巧妙的解法。