MIT 6.837：Curves & Surfaces 曲线和曲面

在对物体建模时，常用三角形或四边形网格来描述物体的形状，但受限于性能，这些面元的数量不能过多，这将造成在相邻面元处曲面产生不连续。尽管我们有办法将表面渲染得光滑，例如使用 Phong 法线插值或 Gouraud 渲染，这些方法仍然要求模型具有一定的精度。一种对光滑曲线/曲面建模的方法是利用样条，借助少许控制点快速生成指定形状的光滑曲线/曲面。

样条是一种被一些控制点定义的光滑曲线，这种控制关系可能是要求曲线经过控制点，也可能是仅影响形状而不要求经过。常用的样条包括插值、贝赛尔曲线和 B 样条。样条曲线的 t 参数方程可以表示为如下的形式：

Q(t)=GBT(t)=GGeometry⋅BSpline Basis⋅T(t)Power Basis

插值曲线中最简单的情况是在两个点之间线性插值，设两点坐标 P0,P1，则曲线上一点的参数方程为 Q(t)=(1−t)P0+tP1。两点权重随参数 t 的变化规律为一次函数，如上图中右图所示。写成统一的参数方程的形式为

Q(t)=((P0)(P1))(−1110)(t1)

两个控制点的线性插值会得到一条直线，而增加控制点的数量，如果两两进行线性插值，其生成的曲线只有 C0 的连续性（即曲线本身连续，但其导数不连续），我们可以增加插值函数的次数以得到光滑的 Ck 曲线。

贝塞尔曲线

三次贝塞尔曲线由四个控制点定义，它经过首尾两个控制点，并与直线 P0P1 和 P3P4 相切。

三次贝塞尔曲线可以通过 de Casteljau 算法生成，它包含三次迭代，每次迭代从上次迭代生成的点的线段插值得到。如上图所示，第 0 次迭代在四个控制点连出的三条线段上插值得到三个点 P01,P11,P21，这些点两两连成的线段上再次插值得到两个点，再次插值即可得到曲线上的点。

展开 de Casteljau 算法迭代式，即可得到三次贝塞尔曲线的参数方程 Q(t)=(1−t)3P0+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3，其中每个点的权重都是关于参数的三次函数，写成统一的参数方程形式为

Q(t)=((P0)(P1)(P2)(P3))(−13−313−630−33001000)(t3t2t1)

如果希望用贝塞尔曲线拼接形成光滑曲线，根据曲线与首尾控制点相切的原理，只需控制两直线斜率一致即可。

高次贝塞尔曲线由多个控制点定义，其基函数 Bin(t)=n!i!(n−i)!ti(1−t)n−i,0≤i≤n。通常很少使用次数太高的曲线，因为控制点数量增加后，利用控制点建模的难度增加。

三次 B 样条也由四个控制点定义，但曲线不经过任何控制点。与贝塞尔曲线类似，B 样条各点的权值为三次函数，但取值并不从 0 开始取。其参数方程 Q(t)=(1−t)36P0+3t3−6t2+46P1+−3t3+3t2+3t+16P2+t36P3，表示为统一形式为

Q(t)=((P0)(P1)(P2)(P3))16(−13−313−604−33311000)(t3t2t1)

B 样条的权重函数具有可以重复的特点，容易连接成光滑曲线，且其作用区域（不为 0 的区域）在一段区间中，易于调整。

贝塞尔曲线和 B 样条之间可以互相转换，只需要根据其基函数矩阵进行变换即可。

双线性插值面片

对两线性插值曲线上的点再次插值得到。记线性插值符号 L(P1,P2,α)=(1−α)P1+αP2，则参数方程为

Q(s,t)=L(L(P1,P2,t),L(P3,P4,t),s)

双三次贝塞尔面片

取四条三次贝塞尔曲线上的点作为控制点，从这些控制点定义的新贝塞尔曲线上得到曲面上的点。记贝塞尔曲线符号为 CB(P1,P2,P3,P4,α)，则参数方程为

Q(s,t)=CB(CB(P00,P01,P02,P03,t),CB(P10,P11,P12,P13,t),CB(P20,P21,P22,P23,t),CB(P30,P31,P32,P33,t),s)

Chaikin 算法

基于割角原理，取每一段线段的 3/4 点和下一段的 1/4 点，增加一条新线段，迭代多次得到曲线。

Doo-Sabin 算法

在每个面上按规则取新的点，将新的点连线得到细分后的结果，多次迭代得到曲面。