【代数系统】群、环、域

代数系统

【定义】代数系统 一个非空集合 A 以及若干定义在它上的运算 f1,f2,…,fkf1,f2,…,fk 组成的系统叫做一个代数系统，记为 <A,f1,f2,…,fk><A,f1,f2,…,fk>

【定义】运算的性质 下面默认指代一个二元运算的代数系统 (A,⋆)(A,⋆)

• 封闭性 ∀x,y∈A∀x,y∈A，有 x⋆y∈Ax⋆y∈A
• 可交换性 ∀x,y∈A∀x,y∈A，有 x⋆y=y⋆xx⋆y=y⋆x
• 可结合性 ∀x,y,z∈A∀x,y,z∈A，有 (x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)(x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)
• 另外还有可分配性、吸收律、等幂，等等。就不多写了。

【定义】幺元

• 对于 el∈Ael∈A，如果有 ∀x∈A→el⋆x∈A∀x∈A→el⋆x∈A，叫做 elel 是关于 ⋆⋆ 的 左幺元
• 对于 er∈Aer∈A，如果有 ∀x∈A→x⋆er∈A∀x∈A→x⋆er∈A，叫做 elel 是关于 ⋆⋆ 的 右幺元

【定理】 如果 (A,⋆)(A,⋆) 存在左幺元 elel 和右幺元 erer，那么 el=erel=er 且 A 上的幺元唯一。
（使用定义证明）

【定义】零元

• 对于 θlθl，如果有 ∀x∈A→θl⋆x=θl∀x∈A→θl⋆x=θl，叫做 θlθl 是关于 ⋆⋆ 的 左零元
• 对于 θrθr，如果有 ∀x∈A→x⋆θr=θr∀x∈A→x⋆θr=θr，叫做 θrθr 是关于 ⋆⋆ 的 右零元

【定理】 类似幺元，如果左零元和右零元都存在，那么它们相等且零元唯一。（证明方法同上）

【定理】 如果 A 中的元素个数多于1，且幺元 ee 和 零元 θθ 都存在，那么 e≠θe≠θ

【定义】逆元 如果a⋆b=ea⋆b=e，称为 a 是 b 的 左逆元，b 是 a 的 右逆元。如果既是左逆元又是右逆元，叫做 逆元
【性质】

• 逆元是相互的：如果 a 是 b 的逆元，那么 b 也是 a 的逆元。
• 一般来说，左逆元未必等于右逆元，有左逆元未必有右逆元，甚至一个元素的左/右逆元未必唯一

半群

【定义】广群 (S,⋆)(S,⋆) 是一个代数系统，⋆⋆ 是二元运算，如果 ⋆⋆ 是封闭的，称为 (S,⋆)(S,⋆) 是一个广群

【定义】半群 (S,⋆)(S,⋆) 是一个代数系统，⋆⋆ 是二元运算，如果满足以下条件，称为 (S,⋆)(S,⋆) 是一个半群:

1. ⋆⋆ 是封闭的，
2. ⋆⋆ 是可结合的，也就是说 (x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)(x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)

【定理1】 如果 (S,⋆)(S,⋆) 是一个半群，且B⊆SB⊆S，且 ⋆⋆ 对 B 封闭，那么，(B,⋆)(B,⋆) 也是一个半群

【定理2】 (S,⋆)(S,⋆) 是一个半群，且 SS 是一个有限集，那么 ∃a→a⋆a=a∃a→a⋆a=a
证明过程稍微绕：

1. S 是有限的，所以存在 i<ji<j 使得 ai=ajai=aj
2. 两边同时乘以 ai(j−i)−iai(j−i)−i
3. 左边 = ai(j−i)ai(j−i)，右边 = aj−iai(j−i)aj−iai(j−i)
4. 令 b=ai(j−i)b=ai(j−i)，就有这个结论：b=aj−ibb=aj−ib
5. 上式使用i次，得到 b=ai(j−j)bb=ai(j−j)b ，也就是 b=b⋆bb=b⋆b，就证完了

【定义】独异点 含有幺元的半群称为独异点

【定理3】 (S,⋆)(S,⋆) 是一个独异点，那么，⋆⋆ 的运算表中，没有不可能有相同的两行或两列。
证明：

1. 假设有相同的两列，也就是说 ∀x∈S→x⋆b1=x⋆b2∀x∈S→x⋆b1=x⋆b2
2. 令 x=ex=e，有 b1=b2b1=b2，他们是同一列

【定理4】 (S,⋆)(S,⋆) 是一个独异点，如果 a,b∈Sa,b∈S 有逆元，那么

1. (a−1)−1=a(a−1)−1=a
2. (a⋆b)−1=b−1⋆a−1(a⋆b)−1=b−1⋆a−1

群和子群

【定义】群 (G,⋆)(G,⋆) 是一个代数系统，且 GG 非空，且 ⋆⋆ 是一个二元运算，如果满足以下条件，那么叫做 (G,⋆)(G,⋆) 是一个群

1. 运算 ⋆⋆ 是封闭的。也就是说
   ∀x,y∈X∀x,y∈X，有，x⋆y∈Xx⋆y∈X
2. 运算 ⋆⋆ 是可结合的。，也就是说
   ∀x,y,z∈X∀x,y,z∈X，有，(x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)(x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)
3. 存在幺元。也就是说
   ∃e∈X∃e∈X，使得∀x∈X,e⋆x=x⋆e=x∀x∈X,e⋆x=x⋆e=x
4. ∀x∈G∀x∈G，都存在逆元 x−1x−1

如果 G 是有限集，那么叫做 (G,⋆)(G,⋆) 是一个 有限群。
如果 G 是无限集，那么叫做 (G,⋆)(G,⋆) 是一个 无限群。

【例子】

• 整数对加法 (Z,+)(Z,+) 是一个群，其幺元为 0
• 整数对除法 (Z,/)(Z,/) 不是一个群，因为运算不封闭

下面一系列定理描述群是什么样的。

【定理1】 群中不存在零元。
（用定义证就行了）

【定理2】 对于 a,b∈Ga,b∈G，必然存在且唯一 x∈Gx∈G，使得 a⋆x=ba⋆x=b
证明：根据前面的结论，a 的逆元必然存在 a−1a−1

【定理3】消去律 如果 a⋆b=a⋆ca⋆b=a⋆c，则有 b=cb=c；如果 b⋆a=c⋆ab⋆a=c⋆a 则有 b=cb=c

【定义】子群 (G,⋆)(G,⋆) 是一个群，S⊆GS⊆G，且 S 非空，如果 (S,⋆)(S,⋆) 也是一个群，那么称为 (S,⋆)(S,⋆) 是 (G,⋆)(G,⋆) 的一个子群

【定理3】：子群中的幺元也是群中的幺元。

【定理4】：(G,⋆)(G,⋆) 是一个群，B 是 G 的一个非空子集，且 B 是一个有限集。如果 ⋆⋆ 在 B 上封闭，那么 (B,⋆)(B,⋆) 是子群。
证明：和上一章的定理2类似，也处理有限集。难点是证明纯在幺元。

1. b 是 B 内任意元素， B 是有限的，所以存在 i<ji<j 使得 bi=bjbi=bj，也就是 bi=bibj−ibi=bibj−i，也就是说 幺元是 bj−ibj−i，它必然在 B 内
2. e=bj−i=b⋆bj−i−1e=bj−i=b⋆bj−i−1，所以每个 b 都有对应的逆元 bj−i−1bj−i−1

【定理5】：(G,⋆)(G,⋆) 是一个群，S 是 G 的一个非空子集，如果 ∀a,b∈S∀a,b∈S，有 a⋆b−1∈Sa⋆b−1∈S，那么 (S,⋆)(S,⋆) 是子群。
证明：

1. 存在幺元。e=a⋆a−1∈Se=a⋆a−1∈S
2. 每个元素都有逆元。 令 a = e ，得到 b−1∈Sb−1∈S
3. 封闭性。对于 a,b∈Sa,b∈S，根据 2 有 b−1∈Sb−1∈S。所以 a⋆b=a⋆(b−1)−1∈Sa⋆b=a⋆(b−1)−1∈S
4. 可结合性不用证

阿贝尔群

【定义】阿贝尔群 一个群 (G,⋆)(G,⋆) 中的 ⋆⋆ 是可交换的，那么这个群就是阿贝尔群

【定理1】：一个群 (G,⋆)(G,⋆) 是阿贝尔群的充要条件是 (a⋆b)⋆(a⋆b)=(a⋆a)⋆(b⋆b)(a⋆b)⋆(a⋆b)=(a⋆a)⋆(b⋆b)

【定义】循环群：一个群(G,⋆)(G,⋆) 中存在一个元素 aa，使得 G 中的任意元素都是 a 的幂，称为循环群，a 称为循环群的生成元

【定理2】：循环群必是阿贝尔群。

同态和同构

在 线性空间 中讨论过线性空间的同态和同构，这里推广到代数系统上

【定义】同态 (A,⋆),(B,∗)(A,⋆),(B,∗) 是两个代数系统，f 是 A 到 B 的一个映射，使得对于任意 a1,a2∈Aa1,a2∈A，有 f(a1⋆a2)=f(a1)∗f(a2)f(a1⋆a2)=f(a1)∗f(a2)，称为：

• f 是 (A,⋆)(A,⋆) 到 (B,∗)(B,∗) 的同态映射，
• 也可以记做 A∼BA∼B

【定义】同构 如果 f 是满射，叫做 满同态；如果是一一映射，叫做 同构 记做 A≅BA≅B

• 同构的概念很重要，如果两个代数系统同构，从本质上可以看成是同一个代数系统，只是所用符号不同。
• 同构的逆仍然是一个同构

【定理1】 同构是一个等价关系。
根据定义很容易证明

【定理2】 f 是 (A,⋆)(A,⋆) 到 (B,∗)(B,∗) 的同态映射

• 如果 (A,⋆)(A,⋆) 是半群，那么 (f(a),⋆)(f(a),⋆) 也是半群
• 如果 (A,⋆)(A,⋆) 是独异点，那么 (f(a),⋆)(f(a),⋆) 也是独异点
• 如果 (A,⋆)(A,⋆) 是群，那么 (f(a),⋆)(f(a),⋆) 也是群

【定义】同态核 f 是 (A,⋆)(A,⋆) 到 (B,∗)(B,∗) 的同态映射，e 是 B 的幺元，Ker(f)=x∈A∣f(x)=eKer(f)=x∈A∣f(x)=e 叫做同态核。

• 【定理1】 (Ker(f),⋆)(Ker(f),⋆) 是 (A,⋆)(A,⋆) 的子群。（用定义证明）

环和域

【定义】环： (A,+,⋅)(A,+,⋅) 是一个代数系统，如果满足以下条件，那么 叫做 (A,+,⋅)(A,+,⋅) 是一个环

• (A,+)(A,+) 是阿贝尔群
• (A,⋅)(A,⋅) 是半群
• 运算遵守可分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c，以及 (b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a

• 关于 x 的实系数多项式的集合，关于多项式的加法和乘法构成一个环
• n阶实矩阵关于矩阵加法和矩阵乘法构成一个环

【定理1】： (A,+,⋅)(A,+,⋅) 是一个环，那么有以下结论（其中，θθ 是加法幺元，a−ba−b定义为 a+(−b)a+(−b)）

• a⋅θ=θ⋅a=θa⋅θ=θ⋅a=θ
• a⋅(−b)=(−a)⋅b=−(a⋅b)a⋅(−b)=(−a)⋅b=−(a⋅b)
• a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅ca⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c

【定义】 上面的定义中，如果 (A,⋅)(A,⋅) 可交换，那么称为 (A,+,⋅)(A,+,⋅) 是一个 可交换环。如果 (A,⋅)(A,⋅) 含有幺元，那么称为 (A,+,⋅)(A,+,⋅) 是一个 含幺环。

【定义】域 (A,+,⋅)(A,+,⋅) 是一个代数系统，如果满足以下条件，那么 叫做 (A,+,⋅)(A,+,⋅) 是一个域

• (A,+)(A,+) 是阿贝尔群
• (A−{θ},⋅)(A−{θ},⋅) 是阿贝尔群
• ⋅⋅ 对 + 满足分配率，也就是说x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z

举例：(Q,+,⋅)(Q,+,⋅)是一个域

参考文献

《离散数学》上海科学技术出版社，左孝凌