【统计时序2】平稳性

平稳性的定义

严平稳过程

定义：
YtYt是一个严格随机过程，如果∀n,h,∀n,h,
FYt1,Yt2,…,Ytn(Y1,…,Yn)=FYt1+h,Yt2+h,…,Ytn+h(Y1,…,Yn)FYt1,Yt2,…,Ytn(Y1,…,Yn)=FYt1+h,Yt2+h,…,Ytn+h(Y1,…,Yn)

宽平稳过程

指的是YtYt的期望、方差、协方差不随时间推移而变化
定义：
YtYt是一个随机过程，如果∀t∀t
E(Yt)=uE(Yt)=u
Var(Yt)=σ2Var(Yt)=σ2
Cov(Yt,Ys)=Cov(Yt+h,Ys+h)=γt−sCov(Yt,Ys)=Cov(Yt+h,Ys+h)=γt−s
那么YtYt是一个 宽平稳随机过程

自相关系数性质

• 规范性，∣ρ∣≤1∣ρ∣≤1
• 对称性，ρk=ρ−kρk=ρ−k
• 非负定性，自相关矩阵非负定
• 非唯一性，平稳序列对应唯一的自相关系数，自相关系数对应多个平稳过程
  这给我们建模有诸多挑战

严平稳与宽平稳的关系

• 在时间序列中讨论的平稳，通常指弱平稳
• 如果低阶距存在，那么严平稳过程能推出宽平稳成立
• 如果服从多元正态分布，那么宽平稳可以推出严平稳

如果低阶距不存在，那么严平稳不能推出宽平稳。
例如柯西分布

平稳性的意义

1. 多个随机变量，但每个随机变量只有1个样本。（需要用观察值序列推断）
2. 平稳性可以极大减少随机变量的个数，增加待估变量的样本容量。例如，如果序列平稳，那么可以 用全部观察值去估计均值、方差 。
3. 减少分析难度，提高精度。

伪回归的根本原因在于时间序列的非平稳性。
用传统方法对彼此不相关的非平稳变量进行回归，那么t检验和F检验往往倾向于显著

平稳性的检验

时序图

画图，图形在某个常数值附近随机波动，波动范围有界、无趋势、无周期，说明序列平稳。

自相关图

自相关系数很快衰减到0，说明序列平稳。
如果自相关系数一直很高，或者自相关系数出现周期性，或者自相关系数先递减后递增，说明序列不平稳。

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
plot_acf(ts, lags=31, ax=ax1)

详细内容看这里

除了看图外，statsmodels.tsa.stattools.acf可以方便地给出有关统计量, 官方文档

statsmodels.tsa.stattools.acf(x, unbiased=False, nlags=40, qstat=False, fft=False, alpha=None, missing='none')[source]
# x : array,Time series data

# unbiased : bool, If True, then denominators for autocovariance are n-k, otherwise n

# nlags: int, optional, Number of lags to return autocorrelation for.

# qstat : bool, optional If True, returns the Ljung-Box q statistic for each autocorrelation coefficient. See q_stat for more information.

# fft : bool, optional. If True, computes the ACF via FFT.

# alpha : scalar, optional. If a number is given, the confidence intervals for the given level are returned.

# missing : str, optional. A string in [‘none’, ‘raise’, ‘conservative’, ‘drop’] specifying how the NaNs are to be treated.

DF检验

Dickey-Fuller（DF），Augmented Dickey-Fuller test（ADF）

DF检验有三种形式：
yt=ρyt−1+εtyt=ρyt−1+εt
yt=α+ρyt−1+εtyt=α+ρyt−1+εt
yt=α+δt+ρyt−1+εtyt=α+δt+ρyt−1+εt

如果∣ρ∣<1∣ρ∣<1，序列ytyt是平稳的
如果∣ρ∣=1∣ρ∣=1，序列ytyt是非平稳的，但一阶差分是平稳的。
如果∣ρ∣>1∣ρ∣>1，序列ytyt是发散的

step1:建立假设
H0：ρ=1ρ=1
H1：∣ρ∣<1∣ρ∣<1

step2：进行t检验

通常用这样的检验方程：
Δyt=γyt−1+εtΔyt=γyt−1+εt
Δyt=α+γyt−1+εtΔyt=α+γyt−1+εt
Δyt=α+δt+γyt−1+εtΔyt=α+δt+γyt−1+εt

问题转化为检验γ=0γ=0

ADF检验

DF检验只适合一阶自相关的情况。也就是假设εtεt没有自相关性，但实际数据大多不满足此假设，所以改进到ADF检验
ADF（augmented Dickey-Fuller test,增广的迪基-福勒检验法）检验适合高阶自相关的情况

ADF检验的三种基本模型： Δyt=γyt−1+utΔyt=γyt−1+ut
Δyt=α+γyt−1+utΔyt=α+γyt−1+ut
Δyt=α+δt+γyt−1+utΔyt=α+δt+γyt−1+ut
其中utut是一个平稳过程，允许utut存在自相关性，如此ADF检验变为如下形式：

Δyt=γyt−1+∑i=1lβiΔyt−i+εtΔyt=γyt−1+∑i=1lβiΔyt−i+εt
Δyt=α+γyt−1+∑i=1lβiΔyt−i+εtΔyt=α+γyt−1+∑i=1lβiΔyt−i+εt
Δyt=α+δt+γyt−1+∑i=1lβiΔyt−i+εtΔyt=α+δt+γyt−1+∑i=1lβiΔyt−i+εt

白噪声过程

满足两个性质：

1. EXt=u,∀t∈TEXt=u,∀t∈T
2. γ(t,s)={σ2,t=s0,t≠sγ(t,s)={σ2,t=s0,t≠s,∀t,s∈T∀t,s∈T

显然，白噪声过程是平稳过程。

白噪声过程的性质

1. 纯随机性

∀k≠0,γ(k)≠0∀k≠0,γ(k)≠0

2. 方差齐性

DXt=γ(0)=0DXt=γ(0)=0
根据马尔科夫定理，只有方差齐性时，用OLS得到的参数估计值才是准确的、有效的。

白噪声的检验

1. 检验原理

Barlett定理：
如果XtXt是白噪声过程，{xt}{xt}是观察期数为n的观察序列，ρ^kρ^k是观察序列的自相关系数，
那么ρ^k∼˙N(0,1/n),∀k≠0ρ^k∼˙N(0,1/n),∀k≠0
(近似服从正态分布，是因为期数有限)

推论： ∑k=1nnρ^2k∼χ2(n)∑k=1nnρ^k2∼χ2(n)

2. 假设

序列是白噪声过程，H0:ρ1=ρ2=…=ρm=0,∀m≥1H0:ρ1=ρ2=…=ρm=0,∀m≥1
(因为期数有限，所以只计算前m个相关系数)

3. 构造统计量

• Q统计量
  Q=n∑k=1mρ^2k∼χ2(n)Q=n∑k=1mρ^k2∼χ2(n)
• LB统计量
  LB=n(n+2)∑k=1m(ρ^2kn−k)∼χ2(m)LB=n(n+2)∑k=1m(ρ^k2n−k)∼χ2(m)
  (对于小样本的表现也良好)
  Ljung-Box q statistic

4. 判别原则

p<αp<α,证明可以拒绝原假设，认为不是白噪声过程

代码实现见于上文acf，只需要设定qstat=True