【丢弃】正态分布的性质
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【丢弃】正态分布的性质
2018年09月03日Author: Guofei
文章归类: ，文章编号: 9530
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原文链接：https://www.guofei.site/2018/09/03/gaussian.html
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定义
f(x1,x2,…xp)=1(2π)p/2∣Σ∣1/2exp[−12(x−u)′Σ−1(x−u)]f(x1,x2,…xp)=1(2π)p/2∣Σ∣1/2exp[−12(x−u)′Σ−1(x−u)] where,
- u是p阶向量
- ΣΣ是p阶正定矩阵
叫做X服从p元正态分布， 记为X∼Np(u,Σ)X∼Np(u,Σ)
性质
如果X=(X1,X2,…Xp)∼Np(u,Σ)X=(X1,X2,…Xp)∼Np(u,Σ)
性质1：均值和方差
EX=uEX=u
Var(X)=ΣVar(X)=Σ
当∣Σ∣=0∣Σ∣=0,不存在密度函数。 当然可以给出一些形式上的表达式，使得可以统一处理。
性质2：独立性
如果ΣΣ是对角阵，那么X1,X2,…,XpX1,X2,…,Xp相互独立
性质3：分块矩阵
做如下拆分：
X=[X(1∼q)X(q+1∼p)],u=[u(1∼q)u(q+1∼p)],Σ=[Σ11Σ21Σ12Σ22]X=[X(1∼q)X(q+1∼p)],u=[u(1∼q)u(q+1∼p)],Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22],
那么：
X(1∼q)∼Nq(u1∼q,Σ11),X(q+1∼p)∼Nq(uq+1∼p,Σ22)X(1∼q)∼Nq(u1∼q,Σ11),X(q+1∼p)∼Nq(uq+1∼p,Σ22)
需要指出：
- 多元正态分布的任何边缘分布都是正态分布，反之不真。
- Σ12=0Σ12=0表示独立，所以多元正态分布拆分后不相关则独立
- 两个正态分布不相关，不一定独立。只有是多元正态分布时，不相关才推出独立。
性质4：线性组合
如果As×p,ds×1As×p,ds×1都是常数矩阵，
那么AX+d∼Ns(Au+d,AΣA′)AX+d∼Ns(Au+d,AΣA′)
乘法
参见Products and Convolutions of Gaussian Probability Density Functions
正态分布乘法的定义
注意区别于随机变量的乘法
正态分布的乘法定义为概率密度函数相乘，然后乘以归一化系数使积分仍然是1.
已知N(ui,Σi),i=1,…nN(ui,Σi),i=1,…n，对应的的概率密度函数是fi(x)=1(2π)p/2∣Σi∣1/2exp[−12(x−ui)′Σ−1i(x−ui)]fi(x)=1(2π)p/2∣Σi∣1/2exp[−12(x−ui)′Σi−1(x−ui)]
- ∏ni=1N(ui,Σi)∏i=1nN(ui,Σi)仍然是一个正态分布
- 新正态分布的方差满足1Σ=∑1Σi1Σ=∑1Σi
- 新正态分布的均值满足uΣ=∑uiΣiuΣ=∑uiΣi
参考文献
Products and Convolutions of Gaussian Probability Density Functions
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