【丢弃】【随机变量】矩阵

2018年09月02日

Author: Guofei

文章归类: ，文章编号: 9510

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原文链接：https://www.guofei.site/2018/09/02/randomvariable.html

随机变量矩阵的推导

x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2x3...xk⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟,y=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2y3...yk⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟x=(x1x2x3...xk),y=(y1y2y3...yk)是随机变量矩阵
a,b是常数， c=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜c1c2c3...ck⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟,d=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜d1d2d3...dk⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟c=(c1c2c3...ck),d=(d1d2d3...dk)是常数向量
A,BA,B是矩阵

那么有这些结论：

1. 定义均值和方差

Ex=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜Ex1Ex2Ex3...Exk⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟Ex=(Ex1Ex2Ex3...Exk)
定义:cov(x,y)=(cov(xi,yj))p×pcov(x,y)=(cov(xi,yj))p×p

2. 线性组合

E(ax+c)=aEx+cE(ax+c)=aEx+c
D(bx+c)=b2DxD(bx+c)=b2Dx

E(Ax)=AE(x),E(xTAT)=E(xT)ATE(Ax)=AE(x),E(xTAT)=E(xT)AT
cov(cTx,dTx)=cTD(x)dcov(cTx,dTx)=cTD(x)d
（所以D(cTx)=cTD(x)cD(cTx)=cTD(x)c）

3. 线性组合plus

cov(y,x)=(cov(x,y))Tcov(y,x)=(cov(x,y))T
cov(Ax,y)=Acov(x,y)cov(Ax,y)=Acov(x,y)(用定义展开立即可证)
cov(x,By)=(cov(By,x))T=(Bcov(y,x))T=(cov(y,x))TBT=cov(x,y)BTcov(x,By)=(cov(By,x))T=(Bcov(y,x))T=(cov(y,x))TBT=cov(x,y)BT

由上面两个式子，
cov(Ax,By)=Acov(x,y)BTcov(Ax,By)=Acov(x,y)BT

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【丢弃】【随机变量】矩阵