一个线性代数的应用实例
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一个线性代数的应用实例
系列：数学之美
利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明，Matrix67 就给出了一个这样的例子，这也让我想起以前看见的另外一个例子，分享如下：
是否存在不全相等的2n+12n+1个数x1,x2,⋯,x2n+1x1,x2,⋯,x2n+1，使得任意删除一个数，剩下2n2n个数可以均分为 2 组，每组nn个数的和都相等。
如果限定xixi是整数，这就是一个简单的高中（初中？）数学竞赛中的数论题，
由于2n+12n+1个数，任意去掉一个数剩下的数的和都是偶数，这意味着所有2n+12n+1个数的奇偶性相同。如果它们都是偶数，那么将它们都除以 2 ，如果都是奇数，将它们减一再除 2。这样操作之后得到的数仍然满足上面的条件，这样经过若干步之后所有数都相等（等于 0 或者-1 ），这意味着原来的原来的2n+12n+1个数必然全部相等。
很可惜，如果不要求xixi是整数，上面的证明就失效了。但利用线性代数里的一些简单事实，我们很快就能得出同样的结论，这样的xixi必然全部相等
记xx为列向量(x1,x2,⋯,x2n+1)(x1,x2,⋯,x2n+1)，假设去掉xixi之后，剩下来的数可以分为和相等的两等分子集，那么存在行向量aiai使得aix=0aix=0，其中aiai的第ii个位置为 0 ，其余2n2n个元素恰好有nn个 1 和-1。
令矩阵A=[ai]A=[ai]，其中aiai是AA的第ii行。那么Ax=0Ax=0，我们证明xx的所有元素都必然相等。
令JJ为同样大小的全 1 矩阵，那么A+JA+J除了对角线上都是 1 之外，其余位置都是偶数，这样矩阵行列式det(A+J)det(A+J)的表达式中有一个唯一的奇数，这意味着det(A+J)≠0det(A+J)≠0，从而rank(A+J)=nrank(A+J)=n，所以rank(A)≥rank(A+J)−rank(J)=n−1rank(A)≥rank(A+J)−rank(J)=n−1。
故Ax=0Ax=0至多一个非零解，可验证x=(1,1,⋯,1)x=(1,1,⋯,1)就是它的唯一解。
Q. E. D.
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