2
赌博的最优策略
source link: https://zhiqiang.org/math/how-to-gamble-optimally.html
Go to the source link to view the article. You can view the picture content, updated content and better typesetting reading experience. If the link is broken, please click the button below to view the snapshot at that time.
赌博的最优策略
系列：生活中的数学
首先申明一下，赌博是不对的，下面的讨论也更多是理论性的。
愿赌服输，所以大多数赌博的结果基本上是不受自己控制的。但最优化赌博成功的概率还是可以做到的。
我们现在讨论一个非常简单的游戏，假设有数量为nn 的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以pp 的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。如果赌博的目标是本钱增长到NN 或者破产（输光所有的钱为止）。问什么样的方式可以最大化成功（赢到NN 走人）的概率呢？
假设最大成功概率为f(n,p)f(n,p) ，那么有
f(n,p)=max0<x≤min{n,N−n}(pf(n+x,p)+(1−p)f(n−x,p)),∀0≤n≤N(1)(1)f(n,p)=max0<x≤min{n,N−n}(pf(n+x,p)+(1−p)f(n−x,p)),∀0≤n≤N
并且满足边界条件
f(0,p)=0,f(N,p)=1(2)(2)f(0,p)=0,f(N,p)=1
显然对于pp 的不同大小有三种可能性：
- p=12p=12 ：这时候没什么取巧的可能性，随便压（但不要超过N−nN−n ），f(x,p)=x/Nf(x,p)=x/N ，成功概率与本钱成正比。
- p>12p>12 ：这种情况比较有趣。如果钱可以无限细分的话，成功的概率是可以趋近 1 的。但现实中并不是这样，另外还得考虑赌博的时间成本对不。这时候根据凯利判据，每次压上(2p−1)n(2p−1)n 是一个比较快捷胜率又高的方法。此时，本钱减少时，概率下降地相对较慢。
- p<12p<12 ：这种情况才是赌场里的大多数的情况（庄家赢的概率肯定要大一些嘛，否则赌场怎么赚钱呢）。但注意与大多数想象的不同，在这时稳打稳扎是慢性自杀，孤注一掷才是最优策略。这也符合历史经验，历史上一些搞阴谋成功的哪个不是亡命徒？最后成功的概率约为(nN)log1/p(nN)log1/p ，本钱少时，概率下降得更快。
所以高手赌钱，应该是这样的，先计算每次游戏的可能的胜率pp ，当p>12p>12 时，压上2p−12p−1 比例的本钱。
来源： discussion with Yaoyun & Shengyu and 《The Mathematics of Gambling》。
Q. E. D.
Recommend
About Joyk
Aggregate valuable and interesting links.
Joyk means Joy of geeK