作者: 张志强

, 发表于 2011-03-07

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标准的期望-方差组合优化目标中有一个参数λ ：

或者（有基准存在时，其中wb 为基准组合的配置权重）：

这个参数一般被称为风险厌恶系数，它依赖于投资者的效应函数（效应函数的定义可参考组合优化中的风险和收益）。但投资者的效应函数是非常难确定的，在实际使用中需要直接估计该参数。来自 MSCI Barra 的一篇 Research Insights[PDF] 讨论了该参数对模型结果的影响，以及在实际工作中如何确定这个λ 。

1. λ 对优化结果的影响

当优化设计到复杂的目标项和限制条件时，λ 对结果的影响也可能是相当复杂的。但当目标函数为简单的期望-方差方程，且资产权重和为 1 为唯一限制条件时，问题变得简单很多。事实上，此时效率前沿和λ 是一一对应的，当λ 从 0 变到无穷大时，最优组合从效率前沿的右上角下移到左下角。对于其它指标，定性地看有以下结论，随着风险厌恶系数的增大：

1、最优资产组合的收益、风险、目标函数值都减少。

2、最优资产组合的 Sharp Ratio 先增后减。

定量地看，先定义两个资产组合，其一为最小风险组合wc ，另一个为最大 Sharp Ratio 组合wa ，即

那么标准的期望-方差组合优化方程有显式解：假设λa 为组合wa 对应的风险厌恶系数，那么对于一般的λ ，最优解为最小风险组合和最大 Sharp Ratio 组合的线性组合：

如果有基准，那么解为基准组合、最小风险组合和最大 Sharp Ratio 组合三者的线性组合：

这些显式解可显式地求出各个指标与λ 之间的关系，从而验证上面的定性结论。

2. λ 估计误差对结果的影响

如果限制条件和目标函数简单，λ 对优化结果的影响较小，这从w 的表达式可以看出，其一阶导数为

由于λ 通常都在 1 附近，上面的一阶导数说明结果对λ 的敏感性较低。

但在实际使用中需要注意，当引入一些特殊的限制条件（比如对于风险的限制、对于持有权重的限制），通常一个参数的改变会带来结果的较大跳跃。故对于较为复杂的组合优化，需对参数进行敏感性测试。

3. 实际使用中如何选取λ

定性地看，风险厌恶系数与投资者的风险偏好相关，越偏好风险，风险厌恶系数可设得越小。如果要定量地确定该系数，实际操作中可以使用下面方法：

1、对于有经验的投资者和资产管理者，可以直接询问「要承受 20%的年波动，你要求多大的超额收益补偿？」，如果该投资者要求 3%的超额收益补偿，其风险厌恶系数为 0.03/0.2^2=0.75。

2、效率前沿法。将效率前沿上的资产组合都提供给投资者，让投资者勾选他们认可的资产组合范围，由于效率前沿上的资产组合和λ 是一一对应的，可从投资者认可的资产组合倒推出他们的风险厌恶系数。

3、市场法。假设一个投资者的可选组合为基准组合和无风险资产，他最后选择满仓持有基准组合，即不持有无风险资产也不进行杠杆投资，那么他的风险厌恶系数为

其中αb,σ2b 分别为基准组合的超额收益和风险。通过目标函数的一阶导数为 0 便能得到该公式。

Barra 内设的参数便是使用这种方法，美国市场（基准为 S&P 500 ）的λ 为 0.75。用上证指数最近 10 年的数据测算得出中国市场的λ 约为 0.7。

Q. E. D.