Delta 金额和 Gamma 金额

我之前一直对 Delta （Δ ）和 Gamma （Γ ）等 Greeks 指标理解得比较模糊，今晚上用笔认真推导了一下，以下是总结。数学公式永远是最清晰的表达方式。

1. Delta 和 Gamma 是什么

一个证券或一个组合的价值为P ，是其风险因子(或者说基准证券)的价格S 的一个函数，那么该证券的价值相对于该风险因子的价格变动可以展开到二阶：

显然Δ 和Γ 有表达式：

直观上来说，Δ 表示该证券或组合相当于多少「份」基准证券。比如一份可买入一股股票的期权的 Delta 为 0.5 ，则表示该期权大约相当于半股股票。显然，线性产品的 Delta 都是 1 ，普通期权的 Delta 在-1 到 1 之间。

而Γ 则是Δ 对S 的再次求导，衡量Δ 随着S 价格变动的变化幅度。对于线性产品，Γ 等于 0 ，对于普通期权，Γ 大于 0。

从上面P 的展开式看，Γ 大于 0 是一件非常好的事情。但它是有代价的，代价是Θ ，即该证券的时间价值。具体等以后有空再分析。

指标 Delta 和 Gamma 有个缺点，它在不同基准证券上不可加。比如一个组合卖出一股期权买入一股另一个股票的期权，其中前者标的股票价格为 100 元，后者为 10。假设两个期权的 Delta 都是 0.5 ，那么直接将它们相加得到组合的 Delta 是 0。这个 Delta 本身没问题，如果两个股票都上涨 1 块钱，那么期权组合的价值基本不变。但实际参考价值不大，因为实际中不太可能这两个股票同时上涨 1 块钱，可能性更大的是，前一个股票上涨 1 块钱，后一个只上涨 1 毛钱，此时组合实际将损失 0.45 元。所以，在实际涉及到股票等风险因子时，大家用得更多的是 Delta 金额和 Gamma 金额。它们与 Delta 和 Gamma 的区别在于，假设基准证券的价格都变动同样的比例（即收益率一样，比如同时上涨 1%）。

2. Delta 金额和 Gamma 金额是什么

Delta 金额（ Dollar Delta ，用Δd 表示），是指，该证券或组合相对于多少「市值」的基准证券。比如一个可转债组合（相对于股票）的 Delta 金额为 100 万元，即代表，该可转债组合大约相当于持有 100 万元市值的股票。即

如果标的股票不一样，先用上面式子算出每个持仓的 Delta 金额，再累计即可。注意S 的收益率可以写成dS/S ，所以Δd 是组合市值变动相对于风险因子（或基准债券）收益率的一阶展开式：

我们可以自然而言将上式推广到二阶，就像上面定义Δ 和Γ 那样，这样可以定义 Gamma 金额（ Dollar Gamma ）。我们用Γd 表示组合市值相对于基准证券收益率的二阶展开系数：

但需要注意的是，这里的 Gamma 金额并不是 Delta 金额相对于收益率的敏感性，这与 Gamma 和 Delta 之间的关系不一样。事实上，它们之间恰好相差一个 Delta 金额：

对于线性产品，上述定义的 Delta 金额即产品市值， Gamma 金额为 0。当然我们也可以定义 Gamma 金额为 Delta 金额相对于收益率的敏感性，但此时上面dP 的二阶展开式就不再成立，而且线性产品的 Gamma 金额也不为 0 ，与直接不太相符。

3. 对于利率和利差风险因子

常见的风险因子可以分为股票、利率、利差、汇率、大宗商品和波动率六大类。

上面定义 Delta 金额和 Gamma 金额为组合价格相对于基准收益率的一阶和二阶近似系数。它适用于股票、汇率、大宗商品以及波动率。

而利率和利差并没有收益率的概念，我们很少说今天利率增加了 10%，一般都是说增加或减少多少个基点（ 100 基点为一个百分点）。所以对这两类风险因子， Delta 金额和 Gamma 金额并不适用上面第二部分中的定义方式，而是直接等同于 Delta 和 Gamma。两者之间并无区别。

Q. E. D.