本文简介了斜透视投影矩阵(oblique projection matrix)相关的一些知识

Unity 的这篇文档提及了斜透视投影的一些内容,还列出了示例代码:

using UnityEngine;
using System.Collections;

public class ExampleScript : MonoBehaviour {
    void SetObliqueness(float horizObl, float vertObl) {
        Matrix4x4 mat  = Camera.main.projectionMatrix;
        mat[0, 2] = horizObl;
        mat[1, 2] = vertObl;
        Camera.main.projectionMatrix = mat;
    }
}

代码挺简单的,但是其中的原理文档中并未提及,本篇文章尝试简单讲解一下~

首先,我们要了解一下 Camera.projectionMatrix 这个矩阵的构成,简单起见,我们这里直接给出结论,有兴趣的朋友可以去看看完整的推导过程(很好的一篇文章,目前似乎还没有译文,有时间自己来翻译一下)(更新:自己简单翻译了一下,在这里):

Unity 中的 Camera.projectionMatrix 遵循 OpenGL 的规范约定,正常的透视投影情况下,该矩阵的构成如下:

[ 2 n r − l 0 r + l r − l 0 0 2 n t − b t + b t − b 0 0 0 − f + n f − n − 2 n f f − n 0 0 − 1 0 ] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​r−l2n​000​0t−b2n​00​r−lr+l​t−bt+b​−f−nf+n​−1​00−f−n2nf​0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

• l l l 是左(垂直)裁剪面的坐标
• r r r 是右(垂直)裁剪面的坐标
• b b b 是下(水平)裁剪面的坐标
• t t t 是上(水平)裁剪面的坐标
• n n n 是近(深度)裁剪面的坐标
• f f f 是远(深度)裁剪面的坐标

正常的透视投影情况下,我们有:

r = − l    ⟹    r + l = 0    ⟹    r − l = 2 r ( 1 ) t = − b    ⟹    t + b = 0    ⟹    t − b = 2 t ( 2 ) ​r=−l⟹r+l=0⟹r−l=2rt=−b⟹t+b=0⟹t−b=2t​(1)(2)​

所以上面的矩阵可以简化为:

[ n r 0 0 0 0 n t 0 0 0 0 − f + n f − n − 2 n f f − n 0 0 − 1 0 ] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​rn​000​0tn​00​00−f−nf+n​−1​00−f−n2nf​0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

现在我们需要调整这个矩阵来达到斜透视投影的效果,怎么做呢?拿水平方向的斜透视举例,我们要做的其实就是 偏移(shift) 左(垂直)裁剪面的坐标 和 右(垂直)裁剪面的坐标,即偏移上面矩阵中的 l l l 和 r r r, 假设我们偏移 s s s 个坐标单位,则有:

l ′ = l + s ( 3 ) r ′ = r + s ( 4 ) ​l′=l+sr′=r+s​(3)(4)​

考虑最开始的透视投影矩阵,由于我们变更了其中的 l l l 和 r r r(变更为了 l ′ l' l′ 和 r ′ r' r′),所以新的(斜)透视投影矩阵变为:

[ 2 n r ′ − l ′ 0 r ′ + l ′ r ′ − l ′ 0 0 2 n t − b t + b t − b 0 0 0 − f + n f − n − 2 n f f − n 0 0 − 1 0 ] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​r′−l′2n​000​0t−b2n​00​r′−l′r′+l′​t−bt+b​−f−nf+n​−1​00−f−n2nf​0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

将之前的 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) (1),(2),(3),(4) (1),(2),(3),(4) 这四个等式代入计算,我们得到:

[ n r 0 s r 0 0 n t 0 0 0 0 − f + n f − n − 2 n f f − n 0 0 − 1 0 ] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​rn​000​0tn​00​rs​0−f−nf+n​−1​00−f−n2nf​0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

注意到相比之前简化的透视投影矩阵,只有一个矩阵元素发生了变化(第一行第三列,即M[0, 2]),从之前的 0 0 0 变为了 s / r s/r s/r,而 s / r s/r s/r 这个数值表示的则是(水平)倾斜度:

• s / r = 0 s/r = 0 s/r=0 即 s = 0 s = 0 s=0,表示不进行偏移,即(水平)倾斜度为 0 0 0
• s / r = 1 s/r = 1 s/r=1 即 s = r s = r s=r,表示向右偏移整个右(垂直)裁剪面的坐标,即(水平)倾斜度为 1 1 1
• s / r = − 1 s/r = -1 s/r=−1 即 s = − r = l s = -r = l s=−r=l,表示向左偏移整个右(垂直)裁剪面的坐标,即(水平)倾斜度为 − 1 -1 −1
• 其他的一些数值情况即代表不同的(水平)倾斜度

垂直方向的斜透视也同样可以依此分析,假设垂直方向的偏移量为 s ′ s' s′ 坐标单位,我们能够得到:

[ n r 0 0 0 0 n t s ′ t 0 0 0 − f + n f − n − 2 n f f − n 0 0 − 1 0 ] ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​rn​000​0tn​00​0ts′​−f−nf+n​−1​00−f−n2nf​0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

可以看到,相比之前简化的透视投影矩阵,新的(斜)透视投影矩阵也仅有一个矩阵元素发生了变化(第二行第三列,即M[1, 2]),并且该元素的数值同样表示(垂直)倾斜度( s ′ / t s'/t s′/t).

综上,如果我们给定了 (水平)倾斜度 和 (垂直)倾斜度,只要据此改变原透视投影矩阵的两个元素(设置 第一行第三列,即M[0, 2] 为(水平)倾斜度,设置 第二行第三列,即M[1, 2] 为(垂直)倾斜度)即可得到我们想要的斜透视投影矩阵~

讲到这里,如果再看一眼先前的示例代码的话,想必是一目了然了~

using UnityEngine;
using System.Collections;

public class ExampleScript : MonoBehaviour {
    void SetObliqueness(float horizObl, float vertObl) {
        Matrix4x4 mat  = Camera.main.projectionMatrix;
        mat[0, 2] = horizObl;
        mat[1, 2] = vertObl;
        Camera.main.projectionMatrix = mat;
    }
}