TinyRenderer笔记2：透视投影
2023-04-08 2023-04-08 约 1497 字
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前面渲染模型时候，没有考虑每个点的z坐标，这种方式叫做正交投影Orthographic projection，模型看起来偏胖，因为我们平时在3d世界看到的物体都是近大远小的。透视投影Perspective projection就是用近大远小的方式投影。
两种投影对比：
线性变换Linear transformations
线性变换从几何直观有三个要点：
- 变换前是直线的，变换后依然是直线
- 直线比例保持不变
- 变换前是原点的，变换后依然是原点
说白了就是缩放、裁切和旋转， 不包括平移：可以看这个文章
平面上的线性变换都可以用一个二维矩阵计算：
[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
ax + by \\
cx + dy
\end{bmatrix}
[acbd][xy]=[ax+bycx+dy]
仿射变换affine transformations
说简单点就是线性变换加上平移，用矩阵计算：
[abcd][xy]+[ef]=[ax+by+ecx+dy+f]
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
e \\ f
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
ax + by + e\\
cx + dy + f
\end{bmatrix}
[acbd][xy]+[ef]=[ax+by+ecx+dy+f]
齐次坐标Homogeneous coordinates
把2x2的变换矩阵加上一行一列，变成3x3，并且把等待变换的向量加上一个总是1的坐标：
[abecdf001][xy1]=[ax+by+ecx+dy+f1]
\begin{bmatrix}
a & b & e \\
c & d & f \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
ax + by + e\\
cx + dy + f \\
1
\end{bmatrix}
ac0bd0ef1xy1=ax+by+ecx+dy+f1
这样就实现了和仿射变换一样的效果！这个想法非常简单。平移在二维空间中不是线性的。所以我们将2D嵌入到3D空间中(通过简单地为第三个分量加1)。这意味着二维空间是三维空间中z=1的平面。然后我们执行一个3D线性变换，并将结果投影到我们的2D物理平面上。
将3d投射到2d只需要除以3d分量：
[xyz]→[x/zy/z]
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
x/z \\
y/z
\end{bmatrix}
xyz→[x/zy/z]
如果z无限逼近0代表被投影后的点在无穷远处：
- 被投影的点 -> 投影到平面z=?的2d坐标
- (x,y,1) -> (x,y)
- (x,y,1/2) -> (2x,2y)
- (x,y,1/4) -> (4x,4y)
可以看到，随着平面的下降，投影后的点越来越远，所以当z=0时，表示的是一个向量而不是3d空间中的一个点。
3d仿射变换
2d的仿射变换可以通过吧2d嵌入3d，转换成3d中的线性变换，再投影回2d。同样的道理：3d的仿射变换，可以通过吧3d嵌入4d，转换成4d中的线性变换，在投影回3d！
使用齐次坐标: 点(x,y,z) -> (x,y,z,1)，用下面的矩阵试着把它在4d空间中进行变换:
[10000100001000r1][xyz1]=[xyzrz+1]
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & r & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ rz+1
\end{bmatrix}
10000100001r0001xyz1=xyzrz+1
再投影回3d：
[xyzrz+1]→[xrz+1yrz+1zrz+1]
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ rz+1
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
\frac{x}{rz+1} \\ \frac{y}{rz+1} \\ \frac{z}{rz+1}
\end{bmatrix}
xyzrz+1→rz+1xrz+1yrz+1z
先把这个结果放一边。来看一个模拟现实中人眼将3d中一个点投影到平面上的例子:
有一个点P=(x,y,z),我们要把它投影到z=0的平面上,摄像机(也就是人的眼睛)在z轴上(0,0,c)的位置
根据初中还是高中的知识，三角形ABC和ODC是相似三角形，所以ABAC=ODOC\frac{AB}{AC}=\frac{OD}{OC}ACAB=OCOD，进而得出xc−z=x′c\frac{x}{c-z}=\frac{x^{'}}{c}c−zx=cx′
x′=x1−z/c
x^{'}= \frac{x}{1-z/c}
x′=1−z/cx
同理：
y′=y1−z/c
y^{'}= \frac{y}{1-z/c}
y′=1−z/cy
回到矩阵，让r=-1/c:
[xyzrz+1]→[xrz+1yrz+1zrz+1]→[x1−z/cy1−z/cz1−z/c]
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ rz+1
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
\frac{x}{rz+1} \\ \frac{y}{rz+1} \\ \frac{z}{rz+1}
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
\frac{x}{1-z/c} \\ \frac{y}{1-z/c} \\ \frac{z}{1-z/c}
\end{bmatrix}
xyzrz+1→rz+1xrz+1yrz+1z→1−z/cx1−z/cy1−z/cz
如果我们想用位于z轴上距离原点为c的摄像机计算一个中心投影，分三步：
- 将3d嵌入到4d中
- 在4d中进行线性变换
- 投影回3d
[xyz]→[xyz1](1)[10000100001000−1/c1][xyz1]=[xyz1−z/c](2)[xyz1−z/c]→[x1−z/cy1−z/cz1−z/c](3)
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ 1
\end{bmatrix}
&\qquad(1)\\
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1/c & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ 1-z/c
\end{bmatrix}
&\qquad(2)\\
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z \\ 1-z/c
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
\frac{x}{1-z/c} \\ \frac{y}{1-z/c} \\ \frac{z}{1-z/c}
\end{bmatrix}
&\qquad(3)
\end{aligned}
xyz→xyz110000100001−1/c0001xyz1=xyz1−z/cxyz1−z/c→1−z/cx1−z/cy1−z/cz(1)(2)(3)
// 4d投影到3d
fn v4p2v3(v: glm::Vec4) -> glm::Vec3 {
glm::vec3(v.x / v.w, v.y / v.w, v.z / v.w)
}
// ...
let camera: glm::Vec3 = glm::vec3(0., 0., 3.);
// 投影变换矩阵，注意gml初始化一行是矩阵中的一列
let projection = glm::mat4(
1., 0., 0., 0.,
0., 1., 0., 0.,
0., 0., 1., -1./camera.z,
0., 0., 0., 1.);
// ...
// 透视投影
let a = v4p2v3(projection * a.extend(1.));
let b = v4p2v3(projection * b.extend(1.));
let c = v4p2v3(projection * c.extend(1.));
详细代码见这里076b31fc4ea69f00e2cee530e5e3e25445189b67
