四元数与旋转--计算、推导与实现

上一篇说到四元数的旋转表示，即从轴角法表示变化成的单位四元数的形式，即：

\[p=(\cos\frac{\theta}{2}, \boldsymbol{n}\sin\frac{\theta}{2}) \]

但是并没有说它是怎么来的。区区一个结果怎么能行呢，所以这里我就来细细说一说四元数的运算法则。

为了方便表示，这里规定两个四元数作为我们接下来演示用的小白鼠：

\[q_1 = (s, \boldsymbol{u}) = a_1+b_1i+c_1j+d_1k \]

\[q_2 = (t, \boldsymbol{v}) = a_2+b_2i+c_2j+d_2k \]

四元数基本运算

加减

加减法很简单，没什么好说的，只要把对应位置的元素加减就行：

\[q_1\pm q_2=(a_1 \pm a_2)+(b_1 \pm b_2)i+(c_1 \pm c_2)j+(d_1 \pm d_2)k \]

写成矢量、标量部分分开的表示形式也可以：

\[q_1 \pm q_2=(s \pm t, \boldsymbol{u} \pm \boldsymbol{v}) \]

乘法

之前给出过有关 \(i, j, k\) 的运算律：

1. \(i^2=j^2=k^2=-1\) ;
2. \(ij=k, jk=i, ki=j\) ;
3. \(ij=-ji, jk=-kj, ki=-ik\) .

根据这些，我们把两个四元数当做多项式来计算，就可以得出结果。由于结果太长了，我们换个写法：假定 \(q=q_1q_2=[w, x, y, z]\) , 那么

\[w = a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2 \]

\[x = a_1b_2+a_2b_1+c_1d_2-c_2d_1 \]

\[y = a_1c_2+a_2c_1+d_1b_2-d_2b_1 \]

\[z = a_1d_2+a_2d_1+b_1c_2-b_2c_1 \]

好家伙，这是真的长。有没有更简洁的表达方式呢？答案是有的。把四元数写成矢量、标量部分之后，我们会发现，计算结果的标量部分，也就是上面的 \(w\) ，可以写成：

\[w=st-\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v} \]

而矢量部分的计算，也就是上面的 \(x, y, z\) ，每一个式子都有四项，这四项可以按照 是否含有标量部分因子 被分为两部分：含有标量因子的组合起来，我们看到它是 \(s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{u}\) . 而不含有标量因子的部分，看上去像是行列式的形式，这里直接说结论吧，这部分可以写成 \(\boldsymbol{u\times v}\) . 于是，计算结果可以表示成

\[q_1q_2=(st-\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}, s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{u}+\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}) \]

这时，我们请出老朋友二元复数，我们可以看到很多相似点，四元数的乘积比普通的复数多了一项： \(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\) . 这一项决定了四元数的乘法 没有交换律 ，甚至不具有反交换律。有趣的是，如果矢量部分是同向或反向的，这一项就是 0，而对于一般的复数，虚部只有一个单位 \(i\) ，它们只能共线。

模

按照直觉，四元数 \(q\) 的模 \(||q||\) ，应该就是把四个成员取平方加起来再开方，也就是常说的 二范数 。实际上也是如此。这部分就这样，公式就不写了。是不是很无聊？这可能是本文最无聊的一个小节了 2333。

共轭

四元数有三个虚部，怎么求共轭呢？答案很简单，就是把三个虚部都反过来。举个例子， \(q=(s, \boldsymbol{u})\) ，那么 \(q\) 的共轭为

\[q^\star=(s, -\boldsymbol{u}) \]

这个定义符合在二元复数里我们对共轭的一般认知，也是就是，满足共轭的运算律。比如说：

\[qq^\star=q^\star q=||q||^2 \]

\[q+q^\star=2s, q-q^\star=2\boldsymbol{u} \]

具体证明按照上面的乘法运算律算一算就知道了，不算复杂。

旋转的四元数表示究竟是怎么来的

旋转的分解

为了搞清楚这个问题，我们首先要将旋转操作相关的量用四元数表示出来。其实只有三个相关的向量：旋转前向量 \(\boldsymbol{u}\) , 旋转后向量 \(\boldsymbol{v}\) , 和旋转轴 \(\boldsymbol{n}\) 和一个角度，即旋转角 \(\theta\) . 旋转前后的向量可以用纯四元数表示，即转前： \(u=(0, \boldsymbol{u})\) ，转后： \(v=(0, \boldsymbol{v})\) . 注意，这里的转轴的表示向量 \(\boldsymbol{n}\) 是一个单位向量。

要解决这种这种绕固定轴旋转的问题，一个自然的思路是将被旋转的向量分解成平行于轴向的 \(\boldsymbol{u}_{\parallel}\) 和垂直于轴向的 \(\boldsymbol{u}_\perp\) .

显然，旋转对于平行分量是无作用的，只作用于垂直分量。暂且不考虑与转轴平行的分量，我们将目光放在垂直分量上。把 \(\boldsymbol{u}_\perp\) 旋转 \(\theta\) 角度，得到的结果就是 \(\boldsymbol{v}_\perp\) ，所以后者相对前者的分量，也就是在 \(\boldsymbol{u}_\perp\) 和 \(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{u}_\perp\) 这两个垂直方向上的分量，我们是知道的，我们有：

\[\boldsymbol{v}_\perp =\boldsymbol{u}_\perp \cos\theta + \boldsymbol{n}\times\boldsymbol{u}_\perp\sin\theta \]

对比一下我们之前说过的四元数乘积形式，不难发现，如果我们用 \(q=(\cos\theta, \boldsymbol{n}\sin\theta)\) 来左乘 \(u_{\perp}=(0, \boldsymbol{u}_\perp)\) ，会得到：

\[qu_{\perp}=(0-\boldsymbol{n}\sin\theta\cdot\boldsymbol{u}_\perp, \boldsymbol{u}_\perp\cos\theta+\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{u}_\perp\sin\theta)=(0, \boldsymbol{v}_\perp) \]

代数小 trick

我们已经很接近最终结果了，这个结论和最终结论的差异就在于，被乘的是整个 \(q\) 而不是它的分量。要做的就是找到一种运算，可以不影响平行分量，只作用于垂直分量。看看在本文开始提出的最终结果，如果把它取平方的话，会发现

\[p^2=(\cos\theta, \boldsymbol{n}\sin\theta) \]

这就是我们说的作用于垂直分量的四元数 \(q\) .

再进一步，我们把旋转写成一个很好看的形式：

\[v=u_{\parallel}+qu_{\perp}=pp^{-1}u_{\parallel}+ppu_{\perp} \]

因为 \(p\) 是单位四元数，所以 \(p^{-1}=p^\star\) （不理解的话可以参考二元复数的性质）注意 \(p\) 的 矢量部分，是和转轴平行的 ，那么把下面的引理一说，大家就明白我要做什么了：

证明同样省略，直接计算就得到了。

有没有发现，旋转后的两项刚好分别符合引理中的两个结论。于是：

\[\array{v&=&pp^\star u_\parallel+ppu_\perp\;\;\\ &=&pu_\parallel p^\star+pu_\perp p^\star\\ &=&p(u_\parallel+u_\perp)p^\star\;\;\\ &=&pup^\star\qquad\qquad\;} \]

这就是我们的结论啦。

四元数运算的 Python 实现

四元数这个东西说年轻也不算年轻，那么是不是有相关的库呢？我在 GitHub 上面翻了翻，还真有，而且已经有 300+ stars 了。

> 链接在这 <

具体来说，这个库是为 numpy 提供了一个四元数的 dtype ，而对于简单的单个四元数的运算也是完全可以胜任的。注意，如果你对运行速度有要求（或者单纯有强迫症，不想每次运行都看到 warning），最好安装一下 numba ，这是一个提高 Python 运行速度的工具。

这个库的安装很简单，因为它已经加入 PyPI 了。注意这个包是基于 numpy 的所以要先安装 numpy .

pip install numpy-quaternion

有了这个工具，我们就可以轻松地应对四元数的运算了：

import numpy as np
import quaternion

q1 = np.quaternion(1, 2, 3, 4)
q2 = np.quaternion(5, 6, 7, 8)

print("q1 = ", q1)
print("\nq2 = ", q2)
print("\nq1 + q2 = ", q1 + q2) # quaternion(6, 8, 10, 12)
print("\nq2 - q1 = ", q2 - q1) # quaternion(4, 4, 4, 4)
print("\nq2 * q1 = ", q1 * q2) # quaternion(-60, 12, 30, 24)
print("\nThe conjugate of q1 is ", q1.conjugate()) # quaternion(1, -2, -3, -4)
print("\nThe square of q1's norm is ", q1.norm()) # 30.0 这里输出的实际上并不是模，而是模的平方，算是 bug 吧:-/

arr = np.array([[q1, q2]])
print("\nThere is an example of array of quaternions:\n", arr)
print("\nIts transpose times itself is:\n", arr.T * arr)
print("\nIts elementwise exponential in base e is:\n", np.exp(arr))

注意几个点：

• 现行版本的内置函数 norm 是有问题的，会返回模的平方，如果需要求模记得取平方根；
• numpy 的一些逐元素执行的运算，如上面例子中的 numpy.exp 在这个库中也是实现了的。
• 这里我没有讲四元数的指数运算，不过其实很简单 w 感兴趣的可以自行了解或者在评论区留言。
• 四元数乘法没有交换律，这一点在矩阵运算的时候也有体现。

结尾

例行总结好无聊啊，不想写，那就写一下本文的参考吧。

本文的求解思路参考了 Krasjet 的 四元数与三维旋转 一文的思路文章讲解十分详实，推荐阅读。

就到这里啦，有什么问题或发现什么错误可以留言或者私信呀。

祝福每一个在努力学习的人 : )