我以前一直很奇怪为什么三次方程求根公式有两部分构成,四次三个部分...

如果五次是不是四个部分? 这意味着什么? 看起来很像线性结构?

最近看到一种很有趣的五次方程解法.

一定程度上解决了我的这个疑惑

求解五次方程 x5−5x3+5x−3=0

这个方程不可因式分解, 其伽罗瓦群是亚循环群 M20

考虑一般情况:

x5−5x3+5x−t=0

转化为同解微分方程

25 \left(4-t^2\right) x''(t)-25 t x'(t)+x(t)=0

一个简单的线性常微分,解之得:

x(t)=c_1 \cos \left(\frac{1}{5} \arcsin\frac{t}{2}\right)-c_2 \sin \left(\frac{1}{5} \arcsin\frac{t}{2}\right)

所以五个根就是:

\begin{cases} 2 \sin \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right) \\ -\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right) \sin \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right)-\sqrt{\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)} \cos \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right) \\ \sqrt{\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{5}\right)} \cos \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right)-\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right) \sin \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right) \\ -\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right) \sin \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right)-\sqrt{\frac{1}{2} \left(5+\sqrt{5}\right)} \cos \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right) \\ \sqrt{\frac{1}{2} \left(5+\sqrt{5}\right)} \cos \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right)-\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right) \sin \left(\frac{1}{5} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\right) \\ \end{cases}

这就很有趣了...这个同解微分方程怎么得到的呢?

我找了下参考文献

1. J. Cockle: Sketch of a Theory of Transcendental Roots, Phil. Mag. XX, 145 (1860)
2. J. Cockle: On Transcendental and Algebraic Solution, Phil. Mag. XXIII, 135 (1862)
3. R. Harley: On the solution of the transcendental solution of algebraic equations, Quart. J. pure appl. Math. V, 337 (1862)

以下是Cockle 与 Harley 在 1860 年左右完成的计算...

\small{\color{#0AF}{顶级数学家的计算力自己看着办吧...}}

让我们从布林杰拉德正规式开始计算

因为所有的五次方程都能转化为布林杰拉德正规式:数学中的暴力美学

x^5-x+t=0\tag1

我们把 x 看成 t 的函数,也就是考虑函数方程:

x(t)^5-x(t)+t=0\tag2

知乎你这个对齐能不能再烂一点

我们希望它同解于一个微分方程:

a_1 x''''(t)+a_2 x'''(t)+a_3 x''(t)+a_4 x'(t)+a_5 x(t)+a_6=0\tag3

接下来我们对(2)式反复求导

\begin{align} x'(t)=& \frac{1}{1-5 x(t)^4} \tag4\\ x''(t)=& -\frac{20 x(t)^3 x'(t)^2}{5 x(t)^4-1} \\ x'''(t)=& -\frac{60 \left(x(t)^2 x'(t)^3+x(t)^3 x'(t) x''(t)\right)}{5 x(t)^4-1} \\ x''''(t)=& -\frac{20 \left(3 x(t)^3 x''(t)^2+6 x(t) x'(t)^4+4 x(t)^3 x^{(3)}(t) x'(t)+18x(t)^2 x'(t)^2 x''(t)\right)}{5 x(t)^4-1} \\ \end{align}

然后把(4)式代入(3)式

\begin{align} &\ a_1 \left(-\frac{120000 x(t)^9}{\left(1-5 x(t)^4\right)^4 \left(5 x(t)^4-1\right)^3}+\frac{12000 x(t)^5}{\left(1-5 x(t)^4\right)^4 \left(5 x(t)^4-1\right)^2}-\frac{120 x(t)}{\left(1-5 x(t)^4\right)^4 \left(5 x(t)^4-1\right)}\right)\\ &+a_2 \left(\frac{1200 x(t)^6}{\left(1-5 x(t)^4\right)^3 \left(5 x(t)^4-1\right)^2}-\frac{60 x(t)^2}{\left(1-5 x(t)^4\right)^3 \left(5 x(t)^4-1\right)}\right)\\ &-a_3\frac{20 x(t)^3}{\left(1-5 x(t)^4\right)^2 \left(5 x(t)^4-1\right)}+a_4\frac{1}{1-5 x(t)^4}+a_5 x(t)+a_6=0\tag5\\ \end{align}

然后又是很困难的一步

x(t)^5=x(t)-t=0\tag2

重新代入(5)式中,反复代入直到没有任何项次数高于5

\begin{align} &\quad\ 5 \left(5 a_6 t \left(3125 t^4+5079\right)-75 t \left(1095 a_5 t+71 a_4\right)+1024 a_3\right) x(t)^3\tag6\\ &+5 \left(5 t \left(25 t \left(5 t \left(5 t \left(5 a_5 t+a_4-18 a_6\right)-4 a_3\right)+36 a_2\right)-2520 a_1+5079 a_5\right)+819 a_4-3277 a_6\right) x(t)^4\\ &+5 \left(5 t \left(25 t \left(1135 a_5 t+111 a_4-657 a_6\right)-1024 a_3\right)+3072 a_2\right) x(t)^2\\ &+\left(-25 t \left(5 t \left(25 t \left(221 a_5 t+29 a_4-227 a_6\right)-384 a_3\right)+2112 a_2\right)+73920 a_1-16384 a_5\right) x(t)\\ &+5 t \left(125 t \left(t \left(5 t \left(90 a_5 t+14 a_4-131 a_6\right)-44 a_3\right)+60 a_2\right)-14760 a_1+3277 a_5\right)+a_4+a_6=0 \end{align}

然后比较系数呗...

\begin{align} a_1&\to -\frac{a_3 \left(256-3125 t^4\right)}{73125 t^2} \\ a_2&\to \frac{50 a_3 t}{117} \\ a_4&\to \frac{17 a_3}{39 t} \\ a_5&\to -\frac{77 a_3}{4875 t^2} \\ a_6&\to 0 \\ \end{align}\tag7

注意到第3项系数是求不出的, 这意味着线性无关(无关紧要)直接设为1即可.

然后代回(3)式得

-\frac{77 a_3 x(t)}{4875 t^2}-\frac{a_3 \left(256-3125 t^4\right) x^{(4)}(t)}{73125 t^2}+\frac{50}{117} a_3 t x^{(3)}(t)+a_3 x''(t)+\frac{17 a_3 x'(t)}{39 t}=0\tag8

\small{于是我们成功的求出了\color\red{同解微分方程!}}

然后求解这个方程...不说了太长了

实验代码:

eqn=x[t]^5-x[t]+t==0;
diffeqn=Total@Table[Subscript[a,i] Derivative[5-i][x][t],{i,1,5}] +Subscript[a,6]==0
deriv=Flatten[Table[Solve[D[eqn,{t,k}],D[x[t],{t,k}]],{k,1,4}]]
algeqn=Expand[diffeqn//. deriv]
expr=FixedPoint[Collect[#,x@t]/.x[t]^i_/;i>4:>(x[t]-t) x[t]^(i-5)&,Numerator@Together[Subtract@@algeqn]];
FullSimplify[expr==0]
var=Array[Subscript[a,#]&,6];
coe=Solve[CoefficientList[expr,x[t]]==0//Thread,var]
diffeq=diffeqn//.coe
sol=First@DSolve[diffeq,x@t,t];
approximation=sol/.HoldPattern@HypergeometricPFQ[w__]->1
eqnapprox=eqn/.approximation
system=(#1==0&)/@Take[CoefficientList[eqnapprox[[1]],t],4]
coeC=Solve[system,C/@Range@4]
solfinal=sol/.coeC
Block[{rho=RandomReal[1,WorkingPrecision->16]},eqn/.solfinal]

软件计算时间大概一分钟不到吧...

找了一早上论文....

看着论文又推了一下午...

累死了看电影去了...