有哪些美丽或神奇的理科公式？ - 知乎
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有哪些美丽或神奇的理科公式？
听说知乎有了新版的公式编辑器，所以总觉得回答这个问题时应该多写几个公式。我来说一些下面的回答里没有提到的公式吧。
（1）Logistic 映射
xn+1=rxn(1−xn)
这个公式看起来很简单，但这个公式中已经包含了一些微小的非线性，因而有复杂的动力学。它的物理意义也很明确，可以看成是在描述某种物种的生长情况。简单地看，这就是一个迭代公式，物种的繁殖（下一时刻个体的数目 xn+1 ）与当前时刻的个体的数目 xn 成正比，然而同时，环境中存在着某种「最大容量」，即当空间挤满了这种生物时，其繁衍的速度又会减慢，所以下一时刻个体的数目也与剩余的空间 1−xn 也成正比。
在这个公式中，有一个参数 r，它反映的是物种的增长率，可以有繁殖和死亡率计算得到。当 r 接近0 时，物种的增长速度很慢，一旦在某个时刻个体的数目降低到接近 0 时，系统最后就会停留在 0 附近，这就是「不动点」。然而随着 r 的增加，不动点的数目变化却会出现很复杂的现象，它可以用如图所示的分支图（图片来源：维基百科）来表示。在某些 r 的取值，系统会出现多个分支，在另外某些取值时，系统会出现混沌的现象，而这一切都是由一个简单的公式所导致的。
\int_M \text{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)
这个定理建立起了曲面的几何（由曲率表征）和拓扑（由示性数表征）之间的联系，同时，它还建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系。定理名字中的“Chern”即为陈省身先生，他证明了这个定理的内蕴形式。（图片来源：2D/3D Shape Manipulation, 3D Printing）
（3）Stokes 公式
\int_{\Omega}d\omega=\int_{\partial\Omega}\omega
这个公式也非常漂亮，而且非常精炼，一个公式顶过去无数个公式，其中不但包括微积分的基本定理，Green 公式、Gauss 公式，也包括大量电磁学的公式。它让空间内部的积分变成了在空间边界上的积分，例如，在三维空间中，Stokes 定理就把「向量场的旋度的曲面积分」跟「向量场在曲面边界上的线积分」之间建立了联系，而更简单的情况就是微积分基本定理，一个函数的积分变成了原函数在边界点上的加减法。
（4）涨落耗散定理
S_x(\omega)=\frac{2k_BT}{\omega}\text{Im}\hat{\chi}(\omega)
在统计物理学中，「涨落」是一个重要的研究对象，从它能看到系统到底会发生怎样的扰动，以及在受到扰动后怎样恢复到平衡态。而「耗散」可以直观地理解成某种阻力，由于耗散，系统的能量被转移了出去。涨落耗散定理联系起了涨落和耗散这两个看似不同的领域，揭示出其背后更为本质的东西。在关于布朗运动的爱因斯坦公式中其实已经出现了这个定理的雏形（如下图所示），而在日常的研究中，我们通过计算涨落来计算比热其实也隐藏了这一定理。关于这一定理更多的解释可以参考我以前曾经在知乎上提过的一个问题：怎样直观地解释涨落耗散定理？
不得不承认，这个问题的答案，和每个人所从事的研究领域，实在是关系太大了……
1. 微分几何语言下的麦克斯韦方程组（我承认这个多半只是是形式漂亮）
\mathrm{d}F = 0\ ,\quad \mathrm{d}*F = J\ .
顺便吐槽一句，光速还真不该说是麦克斯韦方程组推出来的，这么说，因果关系略颠倒了……
2. Noether 定理（这都没人提，真的大丈夫？不会是性别歧视吧？）
\partial_\mu j^\mu = \partial_\mu\left[ \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)} L \right]Q[\phi] = 0
（好吧，只放个欧拉——拉格朗日方程被说是糊弄人，放个标量场版本的）
我个学天文的就不多解说了，只敢说，一种对称性导致一种守恒量；学物理的筒子们，你懂的，上。
3. 最小作用量原理
δ∫CLd4x=0
利用这个，或者（基于这个稍作改变的）路径积分的理念，再加上物理体系所具有的对称性，你差不多可以瞎写出一切你所希望的物理体系的物理部分（但数学部分……还得慢慢儿来）。
4. 测地线方程
原则上可以是前一个方程的推论……
d2xadλ2+Γbcadxbdλdxcdλ=0
依个人愚见，这才是把引力归结为几何的最直接表现。它的通俗解说就是，引力场中，加速度 a = 0。没错，引力其实不是力，所以它造成的“加速度”（与日常之加速度有所不同）是零！
航天的基础是火箭，火箭的基础就是齐奥尔科夫斯基公式，公式很简单：
δv=v∗ln(M1/M0)
δv 是离开地球进入轨道所需的第一宇宙速度，为7.9千米/秒；
v 是燃料燃烧后离开发动机喷管时的速度，化学燃料一般在几千米/秒；
M1 是火箭初始总质量；
M0 是航天器总质量，如果火箭壳体不抛离也算在内；
就这么简单一个公式，但它告诉了人类以下信息：
1。火箭的燃料能量越高、燃气离开火箭时速度 v 越大，火箭推进能力更强（更容易推到第一宇宙速度）；于是电推进比化学燃料强，液氢液氧比偏二甲肼联氨好；
2。火箭的推力在启动时必须克服总质量 M_1 的重力，所以尽管电推进效率很高但推力太低，根本不可能用在逃离地球阶段；而固体燃料火箭，虽然燃气离开火箭时速度最低，但推力大，反而更经常用在火箭中；
3。火箭总质量与最终要运送的航天器总质量比越大，航天器就更容易达到更快速度，于是需要将没必要的负重不断扔掉，否则它们就是连在航天器上的死重；且燃料在烧完之前也是死重；
4。在化学燃料和第一宇宙速度为定值时，可以确定航天器质量和初始质量的比例，这个理论极限是8%，普通火箭仅能做到2-3%。人类历史上最大的土星火箭做到了5%，它重3000吨，只能运送150吨；
5。由于上述四条和对数关系的存在，人类的化学火箭是有极限的，因为太重连自己都飞不起来，而且更大的发动机和壳体也成为更多死重、更难制造出来，天量的燃料也是发射初期的障碍。人类火箭的天顶科技估计被锁死在5000吨级别，它最多仅能运输250吨进入太空，当然人类目前还看不到造出来的希望。
这个跨时代的贡献来自俄国的一位普通高中数学老师，康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基(Konstanty Ciofkowski)。1903年，在他的著作《利用反作用力设施探索宇宙空间》和后来的《宇宙航行》中，他提出了著名的齐奥尔科夫斯基公式。因此，
- 他计算出了宇宙第一速度是7.9千米/秒
- 他告诉人类目前只能发展化学火箭，最好发展液体火箭，最优燃料是液氧液氢
- 他告诉人类火箭必须设计成多级火箭，边飞边扔
- 他告诉人类如果能够逃出地球后，可以广泛使用电推进动力和核动力
人类所有的火箭技术都是基于这几个逻辑下发展起来的，目前的进展是刚刚发展到第四步，最先进的国家已经在用电推了，美国也有过一版核动力火箭。
除了火箭的基本原理，我也系统性地总结了世界火箭发展，了解一下：
齐奥尔科夫斯基由于幼年时期患过一次严重的猩红热，这位听力退化的少年不得不退学回家。但他并未放弃学习，通过坚持去图书馆自学，终于在16岁时因为数学天赋重新参加中考并被录取。从此他一直在中学担任教员直到退休，期间他一直努力研究各种航天相关的数学问题。
但不要认为他就是民科了，他后来成为整个苏联军事航空学院有史以来的第一位教授。单就这一个美丽的公式而言，他的伟大的确影响了人类的航天时代！
对了，他还有同样伟大的一句话：
“地球是人类的摇篮，但人类不可能永远生活在摇篮中。”
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