鉴于语言模型预训练成本巨大，因而研究者一直在寻找减少训练时间和成本的新方向。Adam 及其变体多年来一直被奉为最先进的优化器，但其会产生过多的开销。本文提出了一种简单的可扩展的二阶优化器 Sophia，在与 Adam 比较中，Sophia 在减少了 50% step 数量的情况下实现了与 Adam 相同的验证预训练损失。

大语言模型（LLM）的能力随着其规模的增长而取得了显著的进展。然而，由于庞大的数据集和模型规模，预训练 LLM 非常耗时，需要进行数十万次的模型参数更新。例如，PaLM 在 6144 个 TPU 上进行了为期两个月的训练，总共耗费大约 1000 万美元。因此，提高预训练效率是扩展 LLM 规模的一个主要瓶颈。

本文来自斯坦福大学的研究者撰文《 Sophia: A Scalable Stochastic Second-order Optimizer for Language Model Pre-training 》，文中提出了 Sophia（Second-order Clipped Stochastic Optimization）轻量级二阶优化器，旨在通过更快的优化器提高预训练效率，从而减少达到相同预训练损失所需的时间和成本，或者在相同预算下实现更好的预训练损失。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2305.14342.pdf

Sophia 优化器使用随机估计作为 Hessian 矩阵对角线的 pre-conditioner，并采用剪切（clipping）机制来控制最坏情况下的参数大小更新。在像 GPT-2 这样的预训练语言模型上，Sophia 与 Adam 相比，在减少了 50% step 数量的情况下实现了相同的验证预训练损失。

由于 Sophia 可以维持每个 step 内的的内存和所用时间，这相当于总计算量减少了 50%，wall-clock 时间减少了 50%(参见图 1 (a) 和 (b))。此外，根据扩展定律（从模型大小的角度），在 125M 到 770M 的模型上，Sophia 相对于 Adam 更具优势，并且随着模型大小的增加，Sophia 和 Adam 差距也在增加（在 100K step 内）（图 1（c））。特别的，在 540M 参数模型上（100K step），Sophia 和具有 770M 参数模型上的 Adam 实现了相同的验证损失。需要注意的是，后者需要多 达40％的训练时间和 40％的推理成本。

这项研究也得到了大家的认可。英伟达人工智能科学家 Jim Fan 表示：「多年来，有无数论文推翻了 Adam 优化器，不知道 Sophia 会不会是保留到最后的那个，这是一个可扩展的二阶优化器， 其伪代码只有 13 行，在 GPT-2 （预训练）上比 Adam 快了 2 倍，我很想试试这个优化器！」

论文作者之一、斯坦福大学助理教授马腾宇表示：「（从发布之初，）Adam 可以说是一个 9 岁的优化器，是训练 LLM 的首选，如 GPT-3、OPT、 LLAMA 等。而我们的新研究 Sophia 是一个崭新的优化器，在 LLM 上比 Adam 快了 2 倍。只需要你多写几行代码，你的成本就能从 200 万美元降至 100 万美元（如果扩展定律成立的话）。」

下面我们看看该优化器具体是如何实现的。

至于该研究的动机，作者表示 Adam 对于异构曲率（heterogeneous curvatures）的适应性不足。另一方面，vanilla Newton 方法在凸函数中具有最优的 pre-conditioner，但对于负曲率和 Hessian 的快速变化容易受到影响。基于这些见解，该研究设计了一种新的优化器 Sophia，它比 Adam 更适应异构曲率，比 Newton 方法更能抵抗非凸性和 Hessian 的快速变化，并且还使用了成本较低的 pre-conditioner。

方法理论方面，在时间步长 t 上，该研究用 θ_t 表示参数。在每个 step 上，该研究从数据分布中采样一个小批次，计算小批次损失，并用 L_t (θ_t) 表示。g_t 表示 L_t (θ_t) 的梯度，即。设 m_t 为 EMA（ exponential moving average ）的梯度，则更新的分子为 m_t ← β_1m_t−1 + (1 − β_1) g_t 。

Sophia 使用基于对角 Hessian 的 pre-conditioner，根据参数维度的曲率直接调整更新的大小。为了减少开销，该研究仅在每 k 个step内（现实中 k = 10）估计一次 Hessian。在时间步 t 上，估计器返回小批次损失的 Hessian 对角线的估计。每 k 个step更新一次 EMA，得到对角 Hessian 估计的以下更新规则：

该研究只考虑对角 Hessian 的正项，并在更新中引入按坐标裁剪，更新规则改写为：

对角 Hessian 估计器

该研究引入了两个对角 Hessian 估计器，它们的内存和运行时间成本都与计算梯度相似。估计器分别为 Hutchinson 无偏估计器以及 GNB（ Gauss-Newton-Bartlett ） 估计器。伪代码如下所示：

研究将使用 Hutchinson 估计器和 GNB 估计器的算法分别称为 Sophia-H 和 SophiaG。本文用 GPT-2 评估了 Sophia 的自回归语言建模，模型尺寸从 125M 到 770M 不等。结果表明，Sophia 在 step、总计算量和所有模型大小的 wall-clock 时间方面比 AdamW 和 Lion 快 2 倍。此外，扩展定律更有利于 Sophia 而不是 AdamW。

实验语言建模设置

该实验在 OpenWebText 上训练自回归模型。遵循 GPT-2 的标准协议，将上下文长度设置为 1024。使用只有解码器的 Transformer，模型参数量分别为 125M (小型)、355M (中型) 和 770M (大型)。

基线：研究主要比较 Sophia 和 Adam。Adam 采用解耦权重衰减 (AdamW)，这是语言建模任务中主要使用的优化器，而 Lion 是通过符号搜索发现的一阶自适应优化器。所有优化器都进行了很好的调整。权重衰减被设置为 0.1，β_1 = 0.9， β_2 = 0.95。对于 Lion，使用 β_1 = 0.95 和 β_2 = 0.98。125M 和 355M 模型是在 10 个 A5000 GPU 上训练的，而 770M 模型是在 8 个 A100 GPU 上训练的。

评估：研究人员使用每个优化器对模型进行 100K、200K 或 400K 个step的预训练评估，以比较速度。值得注意的是，与标准一样，LR 调度取决于预先指定的总目标step 数，如图 5 (a) 所示。这使得同一优化器的损失曲线在不同的 step 数下是不同的，因为总 step 数较少的 LR 调度会更早地衰减 LR。本文主要评估了这些模型在 OpenWebText 上的 log 困惑度，并绘制了损失曲线。此外，该研究还报告了 SuperGLUE 上的上下文学习结果，然后对 5 个提示的结果取平均值。

实验结果

图 4 展示了相同 step 数 (100K) 下 OpenWebText 上的验证损失曲线 (token 级 log 困惑度)。与 AdamW 和 Lion 方法相比，本文所提出来的方法获得了更好的验证损失。随着模型大小的增加，Sophia 和基线之间的差距也变得更大。Sophia-H 和 Sophia-G 在 355M 模型上的验证损失都小 0.04 (图 4 (b))。

同样 100K step，Sophia-H 在 770M 模型上的验证损失小了 0.05 (图 4，(c))。可以看出，这是个明显的改进，因为根据该机制中的扩展定律和图 5 中的结果，损失 0.05 的改进相当于实现相同验证损失的 step 数或总计算量的改进的双倍。

Sophia 在 step 数、总计算时间和 wall-clock 时间方面快了两倍。Sophia 对验证损失的改进在于减少 step 数或总计算量。在图 1 (a) 和 (b) 和图 5 中，通过比较达到相同验证损失水平所需的 step 数或总计算量来评估优化器。从图 1 (a) 和 (b) 中可以看出，与 AdamW 和 Lion 相比，Sophia-H 和 Sophia-G 在不同的模型尺寸下实现了 2 倍的加速。

扩展定律更有利于 Sophia-H 而不是 AdamW。在图 1 (c) 中，该研究绘制了预训练 100K step 的不同大小模型的验证损失。Sophia 和 AdamW 之间的差距随着模型的扩大而增大。此外，Sophia-H 训练的 540M 模型比 AdamW 训练的 770M 模型的损失更小。Sophia-H 训练的 355M 模型与 AdamW 训练的 540M 模型的损失相当。

评估下游任务的小样本 (SuperGLUE)。如图 6 所示，验证损失的改善也使得下游任务准确率的提高。在预训练 step 数相同的情况下，使用 Sophia 预训练的 GPT-2 medium 和 GPT-2 large 在大多数子任务上具有更好的少样本准确率。此外，用 Sophia-H 预训练的模型与用 AdamW 预训练的模型具有相当的小样本准确率。

分析

比较 wall-clock 时间与计算量。表 1 比较了每一个 step 的总计算量 (TFLOPs) 和 A100 GPU 上的 wall-clock 时间。本文报告了每个 step 的平均时间，Hessian 计算花费的时间的总计算。较小的批量大小，即每 10 个 step 以计算对角 Hessian 估计，Hessian 计算占总计算量的 6%，与 AdamW 相比，整体 wall-clock 时间开销小于 5%。在内存使用方面，优化器 m 和 h 两个状态，这导致了与 AdamW 相同的内存开销。

在 30M 模型上，执行网格搜索来测试 Sophia-H 对超参数的敏感性 (图 7 (c))。所有组合的性能相近，但 β_2 = 0.99 和 ρ = 0.1 的性能最好。此外，这种超参数选择可以跨模型大小迁移。对于 125M、355M 和 770M 的所有实验，都使用了 30M 模型上搜索超参数 ρ = 0.01， β_2 = 0.99。

训练稳定性。与 AdamW 和 Lion 相比，Sophia-H 在预训练中具有更好的稳定性。梯度裁剪 (by norm) 是语言模型预训练中的一项重要技术。在实践中，梯度裁剪触发的频率与训练的稳定性有关 —— 如果梯度被频繁裁剪，迭代可能处于非常不稳定的状态。图 7 (a) 比较了 GPT-2  (125M) 触发梯度裁剪的 step 比例。尽管所有方法都使用相同的裁剪阈值 1.0，但 Sophia-H 很少触发梯度裁剪，而 AdamW 和 Lion 在超过 10% 的 step 中触发梯度裁剪。