矩阵的 Hermite 标准形与满秩分解
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【Hermite 标准形】
设 H∈Cm×n，rank H=r>0，若 H 满足：
- H 的前 r 行都是非零行，后 m−r 行全为 0
- H 中包含一个 r 阶子单位矩阵 Ir，且 Ir 中的元 1 是所在行的首个非零元
则称 H 为 Hermite 标准形
对于矩阵 A∈Cm×n，进行一系列行初等变换，那么可将 A 化为 Hermite 标准形 H
由于对 A 进行的行初等变换相当于对 A 左乘一系列初等矩阵，故存在可逆阵 P，使得 PA=H，即
P[AIm]=[PAP]=[HP]
因此，可采用如下方法来求 A 的 Hermite 标准形与变换矩阵 P
行初等变换[AIm]→行初等变换[HP]
等价标准形
上述 Hermite 标准形和变换矩阵是针对矩阵的行进行定义的，对称地，也可对矩阵的列定义 Hermite 标准形
对于矩阵 A∈Cm×n，若 rank A=r>0，则存在可逆阵 P 将 A 化为 Hermite 标准形
PA=[HO]
其中，H∈Cn×n，且包含一个 r 阶单位矩阵 Ir
对 PA 进行一系列列初等变换后，则存在可逆阵 Q，使得
PAQ=[HO]Q=[HQO]=[IrOOO]
若存在可逆阵 P,Q，使得 A=PBQ，则称矩阵 A 与 B 是等价的，此时，称上式为 A 的等价标准形
可采用如下方法求变换矩阵 P,Q 以及等价标准形
行、列初等变换[AImIn]→行、列初等变换[[IrOOO]PQ]
即对 A 进行行初等变换时，单位阵 Im 记录了变换矩阵 P；对 A 进行列初等变换时，单位阵 In 记录了变换矩阵 Q
【满秩分解】
设 A∈Cm×n，若
- rank A=m，则称 A 为行满秩矩阵
- rank A=n，则称 A 为列满秩矩阵
显然，A 为满秩矩阵的充要条件是：A 既行满秩又列满秩
若 A 是行（列）满秩矩阵，其具有如下性质：
- AHA 的特征值大于 0
- AHA 是正定 Hermite 矩阵
- AHA 是 r 阶可逆矩阵
设 A∈Cm×n，若存在列满秩矩阵 F 与行满秩矩阵 G，使得
A=FG
则称 A 有满秩分解
需要注意的是，A 的满秩分解不是唯一的
满秩分解方法
对于 A∈Cm×n，若 rank A=r>0，则 A 必有满秩分解，具体分解步骤如下：
1）对 A 进行行初等变换，求出 A 的 Hermite 标准形 H
2）设 H 中单位子矩阵 I，所在列为 i1,i2,⋯,ir，由于对 A 进行初等行变换不会影响 A 列向量间的线性组合关系，易得 A 的最大无关列为
Ai1,Ai2,⋯,Air
故列满秩矩阵可取为
F=[Ai1Ai2⋯Air]
3）由于 Q−1 是 Q 的逆置换，故
G=[IrS]Q−1
恰好为 A 的 Hermite 标准形 H 的前 r 行构成的矩阵
A=[714003512412133600152451520]
对 A 进行初等变换，将 A 化为 Hermite 标准形 H
A=[714003512412133600152451520]→[12005001320000000000]=H
由于 i1=1,i2=3，故取 A 的一、三列构成列满秩矩阵 F，再取 H 的第一、二行构成行满秩矩阵 G，故
A=FG=[70143025][1200500132] </div
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