贪心算法篇——区间问题

本次我们介绍贪心算法篇的区间问题，我们会从下面几个角度来介绍：

我们首先来介绍第一道题目：

/*题目名称*/

区间选点

/*题目介绍*/

给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。

输出选择的点的最小数量。

位于区间端点上的点也算作区间内。

/*输入格式*/
    
第一行包含整数 N，表示区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。

/*输出格式*/
    
输出一个整数，表示所需的点的最小数量。

/*数据范围*/
    
1 ≤ N ≤ 105,
−109 ≤ ai ≤ bi ≤ 109

/*输入样例*/
    
3
-1 1
2 4
3 5

/*输出样例*/
    
2

我们对题目采用贪心算法来思考：

/*贪心思想*/

我们所使用的每一步都是目前该问题的最优解！
    
/*问题分析*/
    
我们需要在n个区间里设置m个点，使每个区间中至少有一个点

那么我们的每个点的取值必须是概括一个点，且最有可能概括多个点
    
那么我们可以对区间进行排序：我们根据区间的右端点进行排序，然后如果该区间没有对应的点，我们就将该区间的右端点设置为其中的点
    
由于我们该区间左侧没有不符合条件的点，所以不用顾及左侧，而右侧可能存在其他区间也概括这个点，我们可以进行判断，若含该点，跳过即可

我们给出实际代码展示：

import java.util.*;

public class Main{
    
    static int N = 100010,INF = 0x3f3f3f3f,n;
    
    // 结构体创建数组需要定义成全局变量
    static Range[] range = new Range[N];
    
    public static void main(String[] args){
        
        Scanner scan = new Scanner(System.in);

        // 初始值输入
        n = scan.nextInt();
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            int l = scan.nextInt();
            int r = scan.nextInt();
            range[i] = new Range(l,r);
        }
        
        //结构体排序
        Arrays.sort(range,0,n); 

        // 表示一共需要多少点
        int res = 0;
        
        // 上一个点的右端点（最开始为负无穷，为了使第一个区间必定赋值）
        int ed = -INF; 
        
        // 开始遍历所有区间并挨个判断
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            if(range[i].l > ed){
                res ++ ;
                ed = range[i].r;
            }
        }
        
        // 最后输出结果即可
        System.out.println(res);
    }
}

// 区间class，因为我们需要重新设置排序条件，所以使用一个类，重塑compareTo方法
class Range implements Comparable<Range>{
    
    // l左端点，r右端点
    int l,r;
    
    // 构造方法
    public Range(int l,int r){
        this.l = l;
        this.r = r;
    }
    
    // 排序比较
    public int compareTo(Range o){
        return this.r - o.r;
    }
}

我们首先来介绍一下题目：

/*题目名称*/

区间分组
    
/*题目介绍*/
    
给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。

输出最小组数。

/*输入格式*/
    
第一行包含整数 N，表示区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。

/*输出格式*/
    
输出一个整数，表示最小组数。

/*数据范围*/
    
1 ≤ N ≤ 105,
−109 ≤ ai ≤ bi ≤ 109

/*输入样例*/
    
3
-1 1
2 4
3 5

/*输出样例*/
    
2

我们采用贪心思想来分析一下：

/*贪心思想*/

我们所使用的每一步都是目前该问题的最优解！
    
/*问题分析*/
 
该题目要求将n个区间划分为m个组，使组中的区间不能接壤
    
该题和第一题不同之处在于：第一题在排序之后每个区间和后面的区间有关联，不会越界；但该题后面的区间仍旧可以放在前面的组中使用
    
我们同样采用最优解思考，我们依旧将区间排序：我们首先将区间按照左端点进行从小到大排序
    
我们从头开始遍历区间并做判断：
    1.将该区间的左端点与之前每个组的右端点进行判断(我们用p表示区间，用s表示组)
    2.若p[i].l > s[j].r:说明两者不接壤，可以将该点放到该组中
    3.若所有组都不符合上述条件，就重新创建一个组即可

我们给出具体实现代码：

import java.util.*;

public class Main{
    
    static int N = 100010,n;
    
    // 存放区间
    static Range[] range = new Range[N];
    
    public static void main(String[] args){
        
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        
        // 初始化
        n = scan.nextInt();
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            int l = scan.nextInt();
            int r = scan.nextInt();
            range[i] = new Range(l,r); 
        }

        // 排序
        Arrays.sort(range,0,n);

        // 我们采用PriorityQueue让其按从小到大的顺序排列，方便我们后面遍历从小到大遍历
        Queue<Integer> minheap = new PriorityQueue<>(); 
        
        // 开始遍历
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            
            Range r = range[i];
            
            // 小根堆的最小值要大于等于。因为相等也是有交点
            if(minheap.isEmpty() || minheap.peek() >= r.l){
                // 若不满足条件，自己创建一个组
                minheap.add(r.r);
            }else{
                // 若满足条件，将该组抛出，重新加入一个组（因为无法更改数据，我们采用这种形式表示更换组的右端点数据）
                minheap.poll();
                minheap.add(r.r);
            }
        }
        
        // 输出结果
        System.out.println(minheap.size());
    }
}

// 区间Class
class Range implements Comparable<Range>{
    int l,r;
    public Range(int l,int r){
        this.l = l;
        this.r = r;
    }
    public int compareTo(Range o){
        return Integer.compare(l,o.l);
    }
}

我们先来介绍一下题目：

/*题目名称*/

区间覆盖
    
/*题目介绍*/
    
给定 N 个闭区间 [ai,bi] 以及一个线段区间 [s,t]，请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖。

输出最少区间数，如果无法完全覆盖则输出 −1。

/*输入格式*/
    
第一行包含两个整数 s 和 t，表示给定线段区间的两个端点。

第二行包含整数 N，表示给定区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。

/*输出格式*/
    
输出一个整数，表示所需最少区间数。

如果无解，则输出 −1。

/*数据范围*/
    
1 ≤ N ≤ 105,
−109 ≤ ai ≤ bi ≤ 109,
−109 ≤ s ≤ t ≤ 109

/*输入样例*/
    
1 5
3
-1 3
2 4
3 5

/*输出样例*/
    
2

我们采用贪心的思想进行分析：

/*贪心思想*/

我们所使用的每一步都是目前该问题的最优解！
    
/*题目分析*/
    
我们希望用n个区间去覆盖一块[s,t]之间的区间
    
那么我们每次使用的一个区间，自然是希望该区间所覆盖的目的部分越大越好，而且我们依旧覆盖过的区间可以直接抛出
    
那么我们只需要找到每次满足覆盖条件的区间组，并在组中找到一个最优解即可
    
我们将n个区间进行以左端点从小到大排序的操作
    
在排序结束之后，我们从头开始遍历，我们设st为目的起点，ed为目的终点
    
我们开始判断，我们需要该区间的左端点小于等于st，且区间的右端点尽可能的大
    
那么我们可以设置条件：p[i].l <= st 这时进入选择区域
    
然后我们需要选择一个右端点最大的区间，我们可以全部选择，用max来判定即可：maxr = Math.max(maxr,p[i].r)
    
当最后该组内的选择结束后，我们首先需要判断是否符合条件（是否可以覆盖起始点），然后我们再去更新起始点的位置进行下一轮判定

我们给出实际代码展示：

import java.util.*;

public class Main{
    
    static int N = 100010;
    
    static Range[] range = new Range[N];
    
    public static void main(String[] args){
        
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        
        int st = scan.nextInt();
        int ed = scan.nextInt();
        int n = scan.nextInt();
        
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){
            int l = scan.nextInt();
            int r = scan.nextInt();
            range[i] = new Range(l,r);
        }
        
        Arrays.sort(range,0,n);

        // 表示返回值，也就是最少多个区间可以覆盖
        int res = 0;
        
        // 表示是否成功
        boolean success = false;
        
        // 使用双指针算法，来查找每个 小于等于 st的右端点最长的数
        for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ){ 
            
            // 这里j就是另一个指针，让j移动判断，最后更新i
            int j = i;
            
            // 我们第一个maxr需要负无穷以便于可以更新
            int maxr = (int)-(2e9);
            
            // 将所有左端点小于st的数的右端点进行比较，取出最大值
            while(j < n && range[j].l <= st){ 
                maxr = Math.max(maxr,range[j].r);
                j ++ ;
            }

            // 如果右端点最大的点小于st，就说明覆盖失败，success为false（默认）
            if(end < st)  break; 

            // 每进行一次就相当于加入了一个区间，我们的最小区间值需要++
            res ++; 

            // 如果进行到这一步完全覆盖了，就标记一下，然后break
            if(end >= ed){ 
                success = true;
                break;
            }
            
            // 每选取一个区间，就将st赋值成这个区间的右端;
            st = maxr;
            
            // 然后更新i，将i更新到j的前一位，也就是大于之前的st的第一位，然后继续判断
            i = j - 1; 
        }
        
        // 如果没有标记就是说明没有完全覆盖，将结果复制成-1
        if(!success) res = -1; 
        
        // 最后输出res
        System.out.println(res);
    }
}

// Class类表示区间，更新了compareTo方法
class Range implements Comparable<Range>{
    int l,r;
    public Range(int l,int r){
        this.l = l;
        this.r = r;
    }
    public int compareTo(Range o){
        return Integer.compare(l,o.l);
    }
}

好的，关于贪心算法篇的区间问题就介绍到这里，希望能为你带来帮助~