最长公共子序列问题

作者：Grey

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题目描述#

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

题目链接: LeetCode 1143. Longest Common Subsequence

暴力解法#

定义递归函数

int process(char[] str1, char[] str2, int i, int j)

递归含义表示：str1 从 0 开始一直到 i，str2 从 0 位置开始一直到 j，最长公共子序列是多少。

首先看 base case，

如果 i == 0 且 j == 0，说明 str1 和 str2 只有一个字符了，此时，如果str1[i] == str2[j] 则返回 1 ，表示最长公共子序列的长度就是 1， 否则则返回 0，表示最长公共子序列的长度就是 0；

如果 i == 0 且 j != 0，说明 str1 只有一个字符，而 str2 不止一个字符，此时如果str1[i] == str2[j]，说明最长公共子序列长度就是 1， 如果str1[i] != str2[j]，则让 i 继续去匹配 j - 1 位置，即process(str1, str2, i, j - 1);

同理，如果 j == 0 且 i!= 0，说明 str2 只有一个字符，而 str1 不止一个字符，此时如果str1[i] == str2[j]，说明最长公共子序列长度就是 1， 如果str1[i] != str2[j]，则让 j 继续去匹配 i - 1 位置，即process(str1, str2, i - 1, j);

base case 的逻辑如下

 if (i == 0 && j == 0) {
            return str1[i] == str2[j] ? 1 : 0;
        }
        if (i == 0) {
            if (str1[i] == str2[j]) {
                return 1;
            }
            return process(str1, str2, i, j - 1);
        }
        if (j == 0) {
            if (str1[i] == str2[j]) {
                return 1;
            }
            return process(str1, str2, i - 1, j);
        }

接下来是普遍位置，即 i != 0 且 j != 0时，有如下几种情况

情况 1，最长公共子序列不要 i 位置;

int p1 = process(str1, str2, i - 1, j);

情况 2，最长公共子序列不要 j 位置;

int p2 = process(str1, str2, i, j - 1);

情况 3，最长公共子序列既要 i 位置，也要 j 位置，此时，需要满足条件 str[i] == str[j];

情况 4，最长公共子序列既不要 i 位置，也不要 j 位置；

情况 3 和 情况 4 整合成一条语句

int p3 = (str1[i] == str2[j] ? 1 : 0) + process(str1, str2, i - 1, j - 1);

最后，返回上述几种情况下的最大值

return Math.max(p2, Math.max(p1, p3));

暴力解法完整代码如下

class Solution {
    public static int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
        if (s1 == null || s2 == null || s1.length() < 1 || s2.length() < 1) {
            return 0;
        }
        return process(s1.toCharArray(), s2.toCharArray(), s1.length() - 1, s2.length() - 1);
    }

    // str1 从0....i
    // str2 从0....j
    // 最长公共子序列是多少
    public static int process(char[] str1, char[] str2, int i, int j) {
        if (i == 0 && j == 0) {
            return str1[i] == str2[j] ? 1 : 0;
        }
        if (i == 0) {
            if (str1[i] == str2[j]) {
                return 1;
            }
            return process(str1, str2, i, j - 1);
        }
        if (j == 0) {
            if (str1[i] == str2[j]) {
                return 1;
            }
            return process(str1, str2, i - 1, j);
        }
        // 最长公共子序列不要i位置
        int p1 = process(str1, str2, i - 1, j);
        // 最长公共子序列不要j位置
        int p2 = process(str1, str2, i, j - 1);
        // 既要i位置，也要j位置(需要满足条件 str[i] == str[j])
        // 既不要i位置，也不要j位置
        int p3 = (str1[i] == str2[j] ? 1 : 0) + process(str1, str2, i - 1, j - 1);
        return Math.max(p2, Math.max(p1, p3));
    }
}

LeetCode 上直接超时

动态规划解#

上述暴力递归过程有两个可变参数，可以定义一个二维数组

char[] str1 = s1.toCharArray();
char[] str2 = s2.toCharArray();
int[][] dp = new int[s1.length()][s2.length()];

其中dp[i][j]表示str1 从 0 开始一直到 i，str2 从 0 位置开始一直到 j，最长公共子序列是多少。

和暴力递归的递归函数表达的含义一样，基于暴力递归的 base case，可以得到二维数组 dp 的一些初始值

如果 i == 0 且 j == 0，说明 str1 和 str2 只有一个字符了，此时，如果str1[i] == str2[j] 则返回 1 ，表示最长公共子序列的长度就是 1， 否则则返回 0，表示最长公共子序列的长度就是 0，即

dp[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 1 : 0;

如果 i == 0 且 j != 0，说明 str1 只有一个字符，而 str2 不止一个字符，此时如果str1[i] == str2[j]，说明最长公共子序列长度就是 1， 如果str1[i] != str2[j]，则让 i 继续去匹配 j - 1 位置，即:

for (int i = 1; i < s2.length(); i++) {
    dp[0][i] = str1[0] == str2[i] ? 1 : dp[0][i - 1];
}

同理，如果 j == 0 且 i!= 0，说明 str2 只有一个字符，而 str1 不止一个字符，此时如果str1[i] == str2[j]，说明最长公共子序列长度就是 1， 如果str1[i] != str2[j]，则让 j 继续去匹配 i - 1 位置，即:

for (int i = 1; i < s1.length(); i++) {
    dp[i][0] = str1[i] == str2[0] ? 1 : dp[i - 1][0];
}

接下来是普遍位置的情况，根据暴力递归的逻辑，也可以很方便求二维数组 dp 每个格子的依赖关系

for (int i = 1; i < str1.length; i++) {
    for (int j = 1; j < str2.length; j++) {
         int p1 = dp[i - 1][j];
         // 最长公共子序列不要j位置
         int p2 = dp[i][j - 1];
         // 既要i位置，也要j位置(需要满足条件 str[i] == str[j])
         // 既不要i位置，也不要j位置
         int p3 = (str1[i] == str2[j] ? 1 : 0) + dp[i - 1][j - 1];
         dp[i][j] = Math.max(p2, Math.max(p1, p3));
    }
}

动态规划解完整代码如下

class Solution {
        public static int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
        if (s1 == null || s2 == null || s1.length() < 1 || s2.length() < 1) {
            return 0;
        }
        char[] str1 = s1.toCharArray();
        char[] str2 = s2.toCharArray();
        int[][] dp = new int[s1.length()][s2.length()];
        dp[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 1 : 0;
        for (int i = 1; i < s2.length(); i++) {
            dp[0][i] = str1[0] == str2[i] ? 1 : dp[0][i - 1];
        }
        for (int i = 1; i < s1.length(); i++) {
            dp[i][0] = str1[i] == str2[0] ? 1 : dp[i - 1][0];
        }
        for (int i = 1; i < str1.length; i++) {
            for (int j = 1; j < str2.length; j++) {
                int p1 = dp[i - 1][j];
                // 最长公共子序列不要j位置
                int p2 = dp[i][j - 1];
                // 既要i位置，也要j位置(需要满足条件 str[i] == str[j])
                // 既不要i位置，也不要j位置
                int p3 = (str1[i] == str2[j] ? 1 : 0) + dp[i - 1][j - 1];
                dp[i][j] = Math.max(p2, Math.max(p1, p3));
            }
        }
        return dp[s1.length() - 1][s2.length() - 1];
    }
}

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