【高等数学基础进阶】微分中值定理及导数应用

一、微分中值定理

定理1（费马引理）：如果函数f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​处可导，且在x0x_{0}x0​处取得极值，那么f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0

定理2（罗尔定理）：

• f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续

• f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)可导

• f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)

则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0

定理3（拉格朗日中值定理）：

• f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续

• f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)可导

则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使

f(b)−f(a)b−a=f′(ξ) \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)

b−af(b)−f(a)​=f′(ξ)

定理4（柯西中值定理）：

• f(x),F(x)f(x),F(x)f(x),F(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续

• f(x),F(x)f(x),F(x)f(x),F(x)在(a,b)(a,b)(a,b)可导，且F′(x)≠0F'(x)\ne0F′(x)=0

则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使

f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ) \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

F(b)−F(a)f(b)−f(a)​=F′(ξ)f′(ξ)​

微分中值定理本质上是为了建立导数与函数的联系，因此题目中如果都是函数的条件，问导数，或者反过来，考虑使用微分中值定理

定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）

设f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​点nnn阶可导，那么

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)

f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+⋯+n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x)

Rn(x)=o(x−x0)n,(x→x0) R_{n}(x)=o(x-x_{0})^{n},(x\to x_{0})

Rn​(x)=o(x−x0​)n,(x→x0​)

若x0=0x_{0}=0x0​=0，则得麦克劳林公式

f(x)=f(0)−f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x) f(x)=f(0)-f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+R_{n}(x)

f(x)=f(0)−f′(0)x+2!f′′(0)​x2+⋯+n!f(n)(0)​xn+Rn​(x)

定理6（拉格朗日型余项泰勒公式）：

设f(x)f(x)f(x)在喊x0x_{0}x0​的区间(a,b)(a,b)(a,b)内n+1n+1n+1阶可导，那么对∀x∈(a,b)\forall x\in(a,b)∀x∈(a,b)，至少存在一个ξ\xiξ，使

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x) f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)

f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+⋯+n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x)

Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1,ξ在x0和x之间 R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1},\xi在x_{0}和x之间

Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1,ξ在x0​和x之间

泰勒公式本质上建立了函数与高阶导数的关系，并且利用多项式逼近f(x)f(x)f(x)

皮亚诺型用于研究函数的局部形态，例如极限、极值；拉格朗日型用于研究函数的整体形态，例如最值、不等式

ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+o(xn)ln⁡(1+x)=x−12x2+13x3−⋯+(−1)(n−1)1nxn+o(xn)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+o(xn)sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+o(x2n−1)cos⁡x=1−12!x2+14!x4−⋯+(−1)nx2n(2n)!+o(x2n) \begin{aligned}

e^x&=1+x+\frac {x^2}{2!}+\cdots+\frac {x^n}{n!}+o(x^n)\\

\ln(1+x)&=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots+(-1)^{(n-1)}\frac1nx^n+o(x^n)\\

(1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\\

\sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})\\

\cos x&=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})

\end{aligned}

exln(1+x)(1+x)αsinxcosx​=1+x+2!x2​+⋯+n!xn​+o(xn)=x−21​x2+31​x3−⋯+(−1)(n−1)n1​xn+o(xn)=1+αx+2!α(α−1)​x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)​xn+o(xn)=x−3!x3​+5!x5​−⋯+(−1)n−1(2n−1)!x2n−1​+o(x2n−1)=1−2!1​x2+4!1​x4−⋯+(−1)n(2n)!x2n​+o(x2n)​

二、导数应用

定理7（函数的单调性）：

设f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)内可导

• 若在(a,b)(a,b)(a,b)内f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上单调增

• 若在(a,b)(a,b)(a,b)内f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，则f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上单调减

定义（函数的极值）：

若∃δ>0\exists \delta>0∃δ>0，使得

• ∀x∈U(x0,δ)\forall x\in U(x_{0},\delta)∀x∈U(x0​,δ)恒有f(x)≥f(x0)f(x)\geq f(x_{0})f(x)≥f(x0​)，则称f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​取得极小值

• ∀x∈U(x0,δ)\forall x\in U(x_{0},\delta)∀x∈U(x0​,δ)恒有f(x)≤f(x0)f(x)\leq f(x_{0})f(x)≤f(x0​)，则称f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​取得极大值

在端点处不能取得极值，极值的定义是邻域

定理8（极值的必要条件）：

若f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​处可导，且在x0x_{0}x0​处取得极值，则f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0

导数值等于零的点被称为驻点

极值不一定是驻点，例如，对于∣x∣|x|∣x∣，当x=0x=0x=0时，是极值点但不是驻点

驻点不一定是极值点，例如，对于x3x^{3}x3，当x=0x=0x=0时，是驻点但不是极值点

因此，极值点只可能在f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0或f′(x0)f'(x_{0})f′(x0​)不存在的点

定理9（极值的第一充分条件）：

设f(x)f(x)f(x)在U˚(x0,δ)\mathring{U}(x_{0},\delta)U˚(x0​,δ)内可导，且f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0（或f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​处连续）

• 若x<x0x<x_{0}x<x0​时，f′(x)≥0f'(x)\geq0f′(x)≥0；x>x0x>x_{0}x>x0​时，f′(x)≤0f'(x)\leq0f′(x)≤0，则fff在x0x_{0}x0​处取极大值

• 若x<x0x<x_{0}x<x0​时，f′(x)≤0f'(x)\leq0f′(x)≤0；x>x0x>x_{0}x>x0​时，f′(x)≥0f'(x)\geq0f′(x)≥0，则fff在x0x_{0}x0​处取极小值

• 若f′(x)f'(x)f′(x)在x0x_{0}x0​的两侧不变号，则fff在x0x_{0}x0​无极值

该定理可以用于f′(x0)=0f'(x_{0})=0f′(x0​)=0，还可以是在x0x_{0}x0​处导数不存在，但是函数连续，例如∣x∣|x|∣x∣当x=0x=0x=0时，依旧可以使用

定理10（极值的第二充分条件）：

设f′(x0)=0,f′′(x0)≠0f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\ne0f′(x0​)=0,f′′(x0​)=0

• 当f′′(x0)<0f''(x_{0})<0f′′(x0​)<0，f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​处取极大值

• 当f′′(x0)>0f''(x_{0})>0f′′(x0​)>0，f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​处取极小值

求连续函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的最值

1. 求出f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)内的驻点和不可导的点x1,x2,⋯,xnx_{1},x_{2},\cdots,x_{n}x1​,x2​,⋯,xn​

2. 求出函数值f(x1),f(x2),⋯,f(xn),f(a),f(b)f(x_{1}),f(x_{2}),\cdots,f(x_{n}),f(a),f(b)f(x1​),f(x2​),⋯,f(xn​),f(a),f(b)

3. 比较以上各点函数值

注：若连续函数f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)内仅有唯一极值点，则不需要作比较

对于最大最小值的应用题，在上述步骤之前建立目标函数即可

f(x1+x22)<f(x1)−f(x2)2 f( \frac{x_{1}+x_{2}}{2})<\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{2}

f(2x1​+x2​​)<2f(x1​)−f(x2​)​

f(x1+x22)>f(x1)−f(x2)2 f( \frac{x_{1}+x_{2}}{2})>\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{2}

f(2x1​+x2​​)>2f(x1​)−f(x2​)​

定理11：

若区间III上f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0，则曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在III上是凹的

若区间III上f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0，则曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)在III上是凸的

定义4（拐点）：

曲线上凹凸性发生变化的点

极值点只有xxx值，拐点是个坐标

拐点判定（必要条件与充分条件），只需要将极值点的定理关于导数抬高一阶即可

定理12（拐点的必要条件）：

设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0​处二阶可导，且点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​))为曲线的拐点，则f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0​)=0

定理13（拐点的第一充分条件）：

设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0​的某去心领域内二阶可导，且f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0​)=0（或f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处连续）

• 若f′′(x)f''(x)f′′(x)在x0x_0x0​的左、右两侧异号，则点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​))是曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)的拐点

• f′′(x)f''(x)f′′(x)在x0x_0x0​的左、右两侧同号，不是拐点

定理14（拐点的第二充分条件）：

设y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0​处三阶可导，且f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0​)=0，若f′′′(x0)≠0f'''(x_0)\ne0f′′′(x0​)=0，则点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​))是曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)的拐点

lim⁡x→∞f(x)=A(lim⁡x→−∞f(x)=A或lim⁡x→+∞f(x)=A) \lim_{x\to \infty}f(x)=A(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A或\lim_{x\to +\infty}f(x)=A)

x→∞lim​f(x)=A(x→−∞lim​f(x)=A或x→+∞lim​f(x)=A)

那么y=Ay=Ay=A是曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)的水平渐近线

水平渐近线判断有无，先看有没有无穷函数

lim⁡x→x0f(x)=∞ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=\infty

x→x0​lim​f(x)=∞

那么x=x0x=x_{0}x=x0​是y=f(x)y=f(x)y=f(x)的垂直渐近线

lim⁡x→∞f(x)x=a,b=lim⁡x→∞(f(x)−ax) \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=a,b=\lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)

x→∞lim​xf(x)​=a,b=x→∞lim​(f(x)−ax)

那么y=ax+by=ax+by=ax+b是y=f(x)y=f(x)y=f(x)的斜渐近线

对于−∞-\infty−∞和+∞+\infty+∞，如果某一侧已经存在水平渐近线或斜渐近线，则该侧不会出现另一种渐近线

1. 一阶导数确定单调区间，确定极值

2. 二阶导数确定凹凸区间，确定拐点

曲线的弧微分与曲率

直角坐标系下的曲率公式

K=∣y′′∣(1+y′2)12 K=\frac{|y''|}{(1+y'^{2})^{\frac{1}{2}}}

K=(1+y′2)21​∣y′′∣​

R=1K R=\frac{1}{K}

R=K1​

常考题型与典型例题

求函数的极值和最值及确定曲线的凹项和拐点

例1：设函数f(x)f(x)f(x)在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)内连续，判断x=0x=0x=0处是否是极值

由于f′(x)f'(x)f′(x)在x=0x=0x=0处无定义，因此x=0x=0x=0处可能是极值点

又因为**f(x)f(x)f(x)在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)内连续**，有x−0>0,x+0<0x-0>0,x+0<0x−0>0,x+0<0，即两端导数值变号，因此是极大值点

例2：已知f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0的某个邻域连续，且f(0)=0,lim⁡x→0f(x)1−cos⁡x=2f(0)=0,\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2f(0)=0,x→0lim​1−cosxf(x)​=2，判断在点x=0x=0x=0处f(x)f(x)f(x)是否可导，是否是极值

2=lim⁡x→0f(x)12x2=2lim⁡x→0(f(x)x⋅1x) 2=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\frac{1}{2}x^{2}}=2\lim_{x\to0}(\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x})

2=x→0lim​21​x2f(x)​=2x→0lim​(xf(x)​⋅x1​)

显然lim⁡x→01x→∞,lim⁡x→0(f(x)x⋅1x)→1\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\to \infty,\lim\limits_{x\to0}(\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x})\to1x→0lim​x1​→∞,x→0lim​(xf(x)​⋅x1​)→1，则lim⁡x→0f(x)x→0\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\to0x→0lim​xf(x)​→0

根据f(0)=0f(0)=0f(0)=0，又有

f′(0)=lim⁡x→0f(x)x→0 f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\to0

f′(0)=x→0lim​xf(x)​→0

因此x=0x=0x=0处f(x)f(x)f(x)可导，导数为000

lim⁡x→0f(x)1−cos⁡x=2>0 \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2>0

x→0lim​1−cosxf(x)​=2>0

根据极限的保号性，在000的一个小去心邻域内

f(x)1−cos⁡x>0⇒f(x)>0=f(0) \frac{f(x)}{1-\cos x}>0\Rightarrow f(x)>0=f(0)

1−cosxf(x)​>0⇒f(x)>0=f(0)

因此x=0x=0x=0处为极小值

例3：设f(x)=∣x(1−x)∣f(x)=|x(1-x)|f(x)=∣x(1−x)∣，判断x=0x=0x=0处是否是f(x)f(x)f(x)的极值点、拐点

f(x)={−x(1−x),x<0x(1−x),x≥0 f(x)=\begin{cases}

-x(1-x)&,x<0 \\

x(1-x)&,x\geq0

\end{cases}

f(x)={−x(1−x)x(1−x)​,x<0,x≥0​

（注意此处只需要写x=0x=0x=0附近的分段函数，其他不关注）

显然f(x)f(x)f(x)在x=0x=0x=0处连续

f′(x)={−1+2x,x<01−2x,x>0 f'(x)=\begin{cases}

-1+2x&,x<0 \\

1-2x&,x>0

\end{cases}

f′(x)={−1+2x1−2x​,x<0,x>0​

（注意此处不需要关注x=0x=0x=0处的f′(x)f'(x)f′(x)值，如果保证函数在极值点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域f′(x)f'(x)f′(x)的正负）

显然是极小值

f′′(x)={2,x<0−2,x>0 f''(x)=\begin{cases}

2&,x<0 \\

-2&,x>0

\end{cases}

f′′(x)={2−2​,x<0,x>0​

（注意此处不需要关注x=0x=0x=0处的f′′(x)f''(x)f′′(x)值，如果保证函数在拐点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域f′′(x)f''(x)f′′(x)的正负）

显然(0,0)(0,0)(0,0)是f(x)f(x)f(x)的拐点

例4：求y=x+sin⁡1xy=x+\sin \frac{1}{x}y=x+sinx1​的渐近线

水平渐近线

当x→∞x\to \inftyx→∞时，函数为∞+有界量\infty+有界量∞+有界量，显然无水平渐近线

垂直渐近线

当x=0x=0x=0时，函数无定义，此时yyy不趋向于无穷，显然五垂直渐近线

lim⁡x→∞yx=1=a,lim⁡x→∞(y−ax)=lim⁡x→∞sin⁡1x=0=b \lim_{x\to \infty} \frac{y}{x}=1=a,\lim_{x\to \infty}(y-ax)=\lim_{x\to \infty}\sin \frac{1}{x}=0=b

x→∞lim​xy​=1=a,x→∞lim​(y−ax)=x→∞lim​sinx1​=0=b

因此存在斜渐近线y=xy=xy=x

设一个函数f(x)f(x)f(x)存在斜渐近线y=ax+by=ax+by=ax+b

对于f(x)f(x)f(x)上的任意一点(x,f(x))(x,f(x))(x,f(x))到斜渐近线y=ax+by=ax+by=ax+b的距离

lim⁡x→∞d=∣f(x)−ax−b∣1+a2=0 \lim_{x\to \infty}d=\frac{|f(x)-ax-b|}{\sqrt{1+a^{2}}}=0

x→∞lim​d=1+a2​∣f(x)−ax−b∣​=0

lim⁡x→∞f(x)−ax−b=0 \lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0

x→∞lim​f(x)−ax−b=0

即，当x→∞x\to \inftyx→∞

f(x)=ax+b+α(x),其中α(x)→0 f(x)=ax+b+\alpha(x),其中\alpha(x)\to0

f(x)=ax+b+α(x),其中α(x)→0

所以如果一个函数当x→∞x\to \inftyx→∞，能被写成一个线性函数+无穷小线性函数+无穷小线性函数+无穷小的形式就有斜渐近线

对于本题y=x+sin⁡1xy=x+\sin \frac{1}{x}y=x+sinx1​，当x→∞x\to \inftyx→∞，显然可以被写成y=x+0y=x+0y=x+0，因此存在斜渐近线y=xy=xy=x

例5：分析y=1x+ln⁡(1+ex)y=\frac{1}{x}+\ln(1+e^{x})y=x1​+ln(1+ex)渐近线的条数

水平渐近线

lim⁡x→−∞y=0注意e∞≠∞ \lim_{x\to -\infty}y=0\quad 注意e^{\infty}\ne \infty

x→−∞lim​y=0注意e∞=∞

因此有水平渐近线y=0y=0y=0

垂直渐近线

lim⁡x→0y=∞ \lim_{x\to0}y=\infty

x→0lim​y=∞

因此有垂直渐近线x=0x=0x=0

斜渐近线，由于−∞-\infty−∞侧已经有水平渐近线，因此不需要考虑该侧

lim⁡x→+∞yx=lim⁡x→+∞ln⁡(1+ex)x=lim⁡x→+∞ex1+ex1=1=alim⁡x→+∞(y−ax)=lim⁡x→+∞(ln⁡(1+ex)−x)此处可以选择把x变成ln⁡ex,也可以从前一项拆出x=lim⁡x→+∞ln⁡1+exex=0=b \begin{aligned}

\lim_{x\to+\infty} \frac{y}{x}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^{x})}{x}=\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}{1}=1=a\\

\lim_{x\to+\infty}(y-ax)&=\lim_{x\to+\infty}(\ln(1+e^{x})-x)\\

&此处可以选择把x变成\ln e^{x},也可以从前一项拆出x\\

&=\lim_{x\to+\infty}\ln \frac{1+e^{x}}{e^{x}}=0=b

\end{aligned}

x→+∞lim​xy​x→+∞lim​(y−ax)​=x→+∞lim​xln(1+ex)​=x→+∞lim​11+exex​​=1=a=x→+∞lim​(ln(1+ex)−x)此处可以选择把x变成lnex,也可以从前一项拆出x=x→+∞lim​lnex1+ex​=0=b​

因此有斜渐近线y=xy=xy=x

斜渐近线也可以用上面的推广方法

当x→+∞x\to+\inftyx→+∞

y=ln⁡[ex(e−x+1)]+1x=x⏟线性函数+ln⁡(e−x+1)+1x⏟无穷小 y=\ln [e^{x}(e^{-x}+1)]+ \frac{1}{x}=\underbrace{x}_{线性函数}+\underbrace{\ln(e^{-x}+1)+ \frac{1}{x}}_{无穷小}

y=ln[ex(e−x+1)]+x1​=线性函数x​​+无穷小ln(e−x+1)+x1​​​

因此有斜渐近线y=xy=xy=x

问零点的存在性考虑零点定理和原函数的罗尔定理

零点定理（使用条件是函数连续，端点值变号）

例6：求证方程x+p+qcos⁡x=0x+p+q\cos x=0x+p+qcosx=0恰有一个实根，其中p,qp,qp,q为常数，且0<q<10<q<10<q<1

令f(x)=x+p+qcos⁡xf(x)=x+p+q\cos xf(x)=x+p+qcosx

lim⁡x→−∞f(x)=−∞,lim⁡x→+∞f(x)=+∞ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

x→−∞lim​f(x)=−∞,x→+∞lim​f(x)=+∞

则存在a<ba<ba<b，使f(a)<0,f(b)>0f(a)<0,f(b)>0f(a)<0,f(b)>0

因此存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0，即f(x)f(x)f(x)有实根

f′(x)=1−qsin⁡x>0 f'(x)=1-q\sin x>0

f′(x)=1−qsinx>0

因此方程x+p+qcos⁡x=0x+p+q\cos x=0x+p+qcosx=0恰有一个实根

例7：设a1+a2+⋯+an=0a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0a1​+a2​+⋯+an​=0，求证方程

nanxn−1+(n−a)an−1xn−2+⋯+2a2x+a1=0 na_{n}x^{n-1}+(n-a)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_{2}x+a_{1}=0

nan​xn−1+(n−a)an−1​xn−2+⋯+2a2​x+a1​=0

F(x)=∫nanxn−1+(n−a)an−1xn−2+⋯+2a2x+a1=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x \begin{aligned}

F(x)&=\int na_{n}x^{n-1}+(n-a)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_{2}x+a_{1}\\

&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x

\end{aligned}

F(x)​=∫nan​xn−1+(n−a)an−1​xn−2+⋯+2a2​x+a1​=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a2​x2+a1​x​

显然F(x)F(x)F(x)在[0,1][0,1][0,1]连续，(0,1)(0,1)(0,1)可导

F(0)=0,F(1)=an+an−1+⋯+a2+a1=0 F(0)=0,F(1)=a_{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{2}+a_{1}=0

F(0)=0,F(1)=an​+an−1​+⋯+a2​+a1​=0

因此存在ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0

不等式证明

常用方法{单调性:f(x)≥g(x)即证f(x)−g(x)≥0拉格朗日中值定理常用于两个函数相减最大最小值 常用方法\begin{cases}

单调性:f(x)\geq g(x)即证f(x)-g(x)\geq0 \\

拉格朗日中值定理常用于两个函数相减 \\

最大最小值

\end{cases}

常用方法⎩⎨⎧​单调性:f(x)≥g(x)即证f(x)−g(x)≥0拉格朗日中值定理常用于两个函数相减最大最小值​

例8：证明：x1+x<ln⁡(1+x)<x,(x>0)\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,(x>0)1+xx​<ln(1+x)<x,(x>0)

ln⁡(1+x)=ln⁡(1+x)−ln⁡1=1ξx,ξ∈(1,1+x) \ln(1+x)=\ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{\xi}x,\xi\in(1,1+x)

ln(1+x)=ln(1+x)−ln1=ξ1​x,ξ∈(1,1+x)

x1+x<ln⁡(1+x)=xξ<x \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)= \frac{x}{\xi}<x

1+xx​<ln(1+x)=ξx​<x

高等数学两个常用不等式：

x1+x<ln⁡(1+x)<x,(x>0)\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,(x>0) 1+xx​<ln(1+x)<x,(x>0)

sin⁡x<x<tan⁡x,x∈(0,π2)\sin x<x<\tan x,x\in(0,\frac{\pi}{2}) sinx<x<tanx,x∈(0,2π​)

中值定理证明题

例9：设f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)上二阶可导，且f(a)=f(b)=f(c),(a<c<b)f(a)=f(b)=f(c),(a<c<b)f(a)=f(b)=f(c),(a<c<b)，证明存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使f′′(ξ)=0f''(\xi)=0f′′(ξ)=0

存在ξ1∈(a,c)\xi_{1}\in(a,c)ξ1​∈(a,c)，使f′(ξ1)=0f'(\xi_{1})=0f′(ξ1​)=0

存在ξ2∈(c,b)\xi_{2}\in(c,b)ξ2​∈(c,b)，使f′(ξ2)=0f'(\xi_{2})=0f′(ξ2​)=0

存在ξ∈(ξ1,ξ2)\xi_{}\in(\xi_{1},\xi_{2})ξ​∈(ξ1​,ξ2​)，使f′(ξ)=0f'(\xi_{})=0f′(ξ​)=0

例10：设不恒为常数的函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，且f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，证明在(a,b)(a,b)(a,b)内至少存在一点ξ\xiξ，使得f′(ξ)>0f'(\xi)>0f′(ξ)>0

根据题意，存在c∈(a,b)c\in(a,b)c∈(a,b)，使f(c)≠f(a)f(c)\ne f(a)f(c)=f(a)，不妨设f(c)>f(a)f(c)>f(a)f(c)>f(a)

存在ξ∈(a,c)\xi\in(a,c)ξ∈(a,c)使

f′(ξ)=f(c)−f(a)c−a>0 f'(\xi)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>0

f′(ξ)=c−af(c)−f(a)​>0

例11：设f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0且存在c∈(a,b)c\in(a,b)c∈(a,b)使f(c)<0f(c)<0f(c)<0。试证：∃ξη∈(a,b),f′(ξ)<0,f′′(η)>0\exists \xi \eta\in(a,b),f'(\xi)<0,f''(\eta)>0∃ξη∈(a,b),f′(ξ)<0,f′′(η)>0

∃ξ∈(a,c)\exists \xi\in (a,c)∃ξ∈(a,c)，使得

f(c)−f(a)c−a=f′(ξ)<0 \frac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(\xi)<0

c−af(c)−f(a)​=f′(ξ)<0

∃ξ∈(c,b)\exists\xi\in(c,b)∃ξ∈(c,b)，使得

f(b)−f(c)b−c=f′(ξ1)>0 \frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(\xi_{1})>0

b−cf(b)−f(c)​=f′(ξ1​)>0

∃η∈(ξ,ξ1)\exists \eta\in(\xi,\xi_{1})∃η∈(ξ,ξ1​)，使得

f′(ξ1)−f(ξ)ξ1−ξ=f′′(η)>0 \frac{f'(\xi_{1})-f(\xi)}{\xi_{1}-\xi}=f''(\eta)>0

ξ1​−ξf′(ξ1​)−f(ξ)​=f′′(η)>0

例12：设函数f(x)f(x)f(x)在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上可导，且f(0)=0f(0)=0f(0)=0，且lim⁡x→+∞f(x)=2\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2x→+∞lim​f(x)=2，证明：

• 存在a>0a>0a>0，使得f(a)=1f(a)=1f(a)=1

• 存在ξ∈(0,a)\xi\in(0,a)ξ∈(0,a)，使得f′(ξ)=1af'(\xi)=\frac{1}{a}f′(ξ)=a1​

介值定理要求在闭区间连续，开区间内的某个值为介值

若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，且f(a)≠f(b)f(a)\ne f(b)f(a)=f(b)，则对f(a)f(a)f(a)于f(b)f(b)f(b)之间任一数CCC，至少存在一个ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=Cf(\xi)=Cf(ξ)=C

由于f(x)f(x)f(x)可导，则必然连续

又因为f(0)=0,lim⁡x→+∞f(x)=2f(0)=0,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2f(0)=0,x→+∞lim​f(x)=2，则存在b>0b>0b>0，使得f(b)>1f(b)>1f(b)>1

因此存在a∈(0,b)a\in(0,b)a∈(0,b)，使得f(a)=1f(a)=1f(a)=1

第二问可以用拉格朗日中值定理，这里用罗尔定理构造函数的方法

F(x)=∫f′(x)−1a=f(x)−1ax F(x)=\int f'(x)- \frac{1}{a}=f(x)- \frac{1}{a}x

F(x)=∫f′(x)−a1​=f(x)−a1​x

显然F(x)F(x)F(x)在[0,a][0,a][0,a]连续，(0,a)(0,a)(0,a)可导

F(0)=0,F(a)=f(a)−1=0 F(0)=0,F(a)=f(a)-1=0

F(0)=0,F(a)=f(a)−1=0

因此存在ξ∈(0,a)\xi\in(0,a)ξ∈(0,a)，使得f′(ξ)=1af'(\xi)=\frac{1}{a}f′(ξ)=a1​