这里首先给出一个公式:
平面多边形 X 可以被剖分为 n个有限的简单图形 X1,X2,…Xn，这些简单图形的重心为 Ci，面积为 Ai，那么这个平面多边形的重心点坐标为 (Cx，Cy)：

一般来说我们可以给多边形进行三角剖分，而n个三角形的面积Ai之和即为多边形的总面积，那么这个公式可以理解为：

多边形重心横坐标 = 多边形剖分的每一个三角形重心的横坐标 * 该三角形的面积之和 / 多边形总面积
多边形重心纵坐标 = 多边形剖分的每一个三角形重心的纵坐标 * 该三角形的面积之和 / 多边形总面积

对于一个三角形，重心坐标就是((x0+x1+x2)/3,(y0+y1+y2)/3)，而对于三角形的面积，我们用向量叉积来解决：S=1/2ab*sinC，这里我们采用一个外部的剖分点P。

三角形ABC的面积= 三角形PBC面积 + 三角形PCA面积 - 三角形PAB面积：

因为 向量PB 在 向量PA 的顺时针方向，所以向量PB * 向量PA < 0。
假设这四个点的坐标为：P(x0,y0), A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)，通过上面的公式进行计算，计算结果：

我们可以发现，计算结果中没有x0、y0的项，因为它们在计算过程中给消去了，所以我们可以得出一个结论，多边形的面积结果与剖分点的位置是无关的。那么为了计算方便，我们当然选择把这个 P点设置到原点上：现在只用两个点就行了

double curr_area = (polygon[(i + 1) % polygon.size()].x * polygon[i].y - polygon[(i + 1) % polygon.size()].y * polygon[i].x) / 2.0;

只要我们知道多边形的每一个顶点，通过原点进行剖分成多个三角形，然后通过向量的叉乘求出每个三角的面积，最后相加，就可以求出多边形的面积了。

效果：

最终代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <graphics.h>
#include <time.h>
#include <conio.h>
using namespace std;
#define POINTNUM 10
struct Point
{
    double x;    // x坐标
    double y;    // y坐标
    double z;    // z坐标（默认为0，如果需要三维点则给z赋值）
	bool isExtremePoint;//是否为极点
	int next;//下一个极点坐标
    Point(double a = 0, double b = 0, double c = 0) { x = a; y = b; z = c; } // 构造函数
};
struct Triangle
{
    Point v0;
    Point v1;
    Point v2;
    bool is_plane;

    Triangle() {}; // 默认构造函数
    Triangle(Point a, Point b, Point c, bool _is_plane = false) { v0 = a; v1 = b; v2 = c; is_plane = _is_plane; }// 构造函数（默认是三角形）
};
double length(const Point& vec)//向量长度
{
    return (sqrt(pow(vec.x, 2) + pow(vec.y, 2) + pow(vec.z, 2)));
}
Point multiply(const Point& vec1, const Point& vec2)//向量叉乘
{
    Point result;

    result.x = vec1.y * vec2.z - vec2.y * vec1.z;
    result.y = vec1.z * vec2.x - vec2.z * vec1.x;
    result.z = vec1.x * vec2.y - vec2.x * vec1.y;

    return result;
}
Point sub(const Point& lhs, const Point& rhs)//向量减法
{
    Point res;

    res.x = lhs.x - rhs.x;
    res.y = lhs.y - rhs.y;
    res.z = lhs.z - rhs.z;

    return res;
}
Point div(const Point& p, double ratio)//向量除法
{
    Point res;
    
    res.x = p.x / ratio;
    res.y = p.y / ratio;
    res.z = p.z / ratio;

    return res;
}
Point add(const Point& lhs, const Point& rhs)//向量加法
{
    Point res;

    res.x = lhs.x + rhs.x;
    res.y = lhs.y + rhs.y;
    res.z = lhs.z + rhs.z;

    return res;
}
Point mul(const Point& p, double ratio)//向量乘法
{
    Point res;

    res.x = p.x * ratio;
    res.y = p.y * ratio;
    res.z = p.z * ratio;

    return res;
}
double Area2(Point a,Point b,Point c){//利用行列式求面积
	return a.x*b.y-a.y*b.x+b.x*c.y-b.y*c.x+c.x*a.y-c.y*a.x;
}
Point centerOfPolygon(const vector<Point>& polygon)
{
    double polygon_area(0.0);
    Point center;//重心
    Point origin;//原点

    for (int i = 0; i < polygon.size(); ++i)
    {
        Point curr_p = polygon[i];
        Point next_p = polygon[(i + 1) % polygon.size()];
		//double curr_area = (polygon[(i + 1) % polygon.size()].x * polygon[i].y - polygon[(i + 1) % polygon.size()].y * polygon[i].x) / 2.0;
		double curr_area=Area2(origin, curr_p, next_p);
        polygon_area += curr_area;
		//div(add(curr_p, next_p), 3)是curr_p, next_p和原点origin组成的三角形的重心
		center.x += div(add(curr_p, next_p), 3).x*curr_area;
		center.y += div(add(curr_p, next_p), 3).y*curr_area;
    }
	center.x /=polygon_area;
	center.y /=polygon_area;
    return center;
}
int main()
{
	vector<Point> points;
	initgraph(600,600);//创建一个600*600的窗口
	//实验数据
	points.push_back(Point(150,200));
	setlinecolor(RGB(255,0,0));
	setfillcolor(RGB(255,0,0));
	fillcircle(150,200,3);
	points.push_back(Point(300,200));
	setlinecolor(RGB(255,0,0));
	setfillcolor(RGB(255,0,0));
	fillcircle(300,200,3);
	points.push_back(Point(300,400));
	setlinecolor(RGB(255,0,0));
	setfillcolor(RGB(255,0,0));
	fillcircle(300,400,3);
	points.push_back(Point(150,400));
	setlinecolor(RGB(255,0,0));
	setfillcolor(RGB(255,0,0));
	fillcircle(150,400,3);
	points.push_back(Point(100,300));
	setlinecolor(RGB(255,0,0));
	setfillcolor(RGB(255,0,0));
	fillcircle(100,300,3);

	Point result=centerOfPolygon(points);
	//画出结果
	setlinecolor(RGB(0,0,255));
	setfillcolor(RGB(0,0,255));
	fillcircle(result.x,result.y,3);
	getch();
	closegraph();
	return 0;
}