论文标题：Efficient Graph Convolution for Joint Node RepresentationLearning and Clustering
论文作者：Chakib Fettal, Lazhar Labiod,Mohamed Nadif
论文来源：2021, WSDM
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1 Introduction

 　　一个统一的框架中解决了节点嵌入和聚类问题。

2 Method

　　

2.1 Joint Graph Representation Learning and Clustering

　　将同时进行的节点嵌入和聚类问题表述如下

　　　　Z=enc(agg(A,X);W1)=agg(A,X)W1Z=enc⁡(agg⁡(A,X);W1)=agg⁡(A,X)W1

　　Decoder 即一个简单的线性变换：

　　　　dec(Z;W2)=ZW2dec⁡(Z;W2)=ZW2

2.3 Normalized Simple Graph Convolution

　　本文的聚合函数受到 SGC [42] 中提出的简单图卷积的启发。设为：

　　　　agg(A,X)=TpXagg⁡(A,X)=TpX

　　其中，TT 不是添加了自环的对称标准化邻接矩阵，本文 TT  定义为 ：

　　　　T=D−1T(I+S~)T=DT−1(I+S~)

• • S~=D~−1/2A~D~−1/2S~=D~−1/2A~D~−1/2；
  • A~=A+IA~=A+I；
  • D~D~ 是从 A~A~ 得出的度矩阵；
  • DTDT 是从 I+S~I+S~ 得出的度矩阵；

　　GCN 的频率响应函数 p(λ)=1−λ~i∈[−1,1)p(λ)=1−λ~i∈[−1,1)。

　　SGC 的传播矩阵为 I−S~=I−D~−1/2(I−L~)D~−1/2I−S~=I−D~−1/2(I−L~)D~−1/2，其频率响应函数为 h(λ~l)=1−λ~lh(λ~l)=1−λ~l，该滤波器在 [0,1][0,1] 上是低通的，而不是 [0,1.5][0,1.5]。然后，本文建议进一步添加自循环和行规范化矩阵 S~S~。这将产生以下影响

• • 从谱域的角度来看：所提出的归一化进一步缩小了矩阵的谱域到 [0,1][0,1] 中，如图2所示，这使得滤波器真正的低通；
  • 从空间域的角度来看：每个转换后的顶点成为邻居的加权平均值，这更直观，但它也考虑了列度信息，不像直接随机游走邻接归一化；

　　本文的问题变成：

　　　　min G,F,W1,W2 s.t. ∥TpX−TpXW1W2∥2+α∥TpXW1−GF∥2G∈{0,1}n×k,G1k=1nmin G,F,W1,W2‖TpX−TpXW1W2‖2+α‖TpXW1−GF‖2 s.t. G∈{0,1}n×k,G1k=1n

2.5 Graph Convolutional Clustering

　　为使得嵌入空间信息和聚类信息相互补充，本文设置 W=W1=W⊤2W=W1=W2⊤，并添加一个正交性约束，所以 Eq.4Eq.4 变为：

　　　　min G,F,W s.t. ∥∥TpX−TpXWW⊤∥∥2+∥TpXW−GF∥2G∈{0,1}n×k,G1k=1n,W⊤W=Ik(5)min G,F,W‖TpX−TpXWW⊤‖2+‖TpXW−GF‖2 s.t. G∈{0,1}n×k,G1k=1n,W⊤W=Ik(5)

　　与 [43] 类似，该问题等价于

　　　　min G,F,W s.t. ∥∥TpX−GFW⊤∥∥2G∈{0,1}n×k,G1k=1n,W⊤W=Ik(6)min G,F,W‖TpX−GFW⊤‖2 s.t. G∈{0,1}n×k,G1k=1n,W⊤W=Ik(6)

　　首先分解重构项：

　　　　∥∥TpX−TpXWW⊤∥∥2=∥TpX∥2+∥∥TpXWW⊤∥∥2−2∥TpXW∥2=∥TpX∥2−∥TpXW∥2 due to W⊤W=Ik‖TpX−TpXWW⊤‖2=‖TpX‖2+‖TpXWW⊤‖2−2‖TpXW‖2=‖TpX‖2−‖TpXW‖2 due to W⊤W=Ik

　　其次，聚类正则化项分解为：

　　　　∥TpXW−GF∥2=∥TpXW∥2+∥GF∥2−2Tr((TpXW)⊤GF)‖TpXW−GF‖2=‖TpXW‖2+‖GF‖2−2Tr⁡((TpXW)⊤GF)

　　上述两个结果表达式求和：

　　　　∥TpX∥2+∥GF∥2−2Tr((TpXW)⊤GF)=∥∥TpX−GFW⊤∥∥2 due to ∥∥GFW⊤∥∥=∥GF∥‖TpX‖2+‖GF‖2−2Tr⁡((TpXW)⊤GF)=‖TpX−GFW⊤‖2 due to ‖GFW⊤‖=‖GF‖

　　因此，优化 Eq.5Eq.5 等价于优化 Eq.6Eq.6。

3 Optimization and algorithm

　　该算法交替固定 FF、GG 和 WW 中两个矩阵 ，并求解第三个矩阵。

3.1 Optimization Procedure

Initialization

　　对 TpXTpX 应用主成分分析(PCA) 得到的前 ff 个分量来初始化 WW。然后在 TpXTpX 上应用 k-means 得到 FF 和 GG。

　　通过固定 GG 和 WW 并求解 FF，我们得到了一个线性最小二乘问题。通过将导数设为零，得到了对给定问题的最优解的正态方程。然后是更新规则

　　　　F=(G⊤G)−1G⊤TpXW(7)F=(G⊤G)−1G⊤TpXW(7)

　　直观地说，每个行向量 fifi 被设置为分配给集群 ii 的嵌入 XWXW 的平均值。并通过 K-means 更新质心矩阵。

　　固定 Eq.6Eq.6 中的 FF 和 GG，所以更新规则如下：

　　　　W=UV⊤ s.t. [U,Σ,V]=SVD((TpX)⊤GF)W=UV⊤ s.t. [U,Σ,V]=SVD⁡((TpX)⊤GF)

• • Σ=(σii)Σ=(σii)　　
  • UU 和 VV 分别代表 (TpX)⊤GF(TpX)⊤GF 的特征值和左、右特征向量；

　　固定 FF 和 GG 产生如下问题：

　　　　min W∥∥TpX−GFW⊤∥∥2 s.t. W⊤W=Ik.min W‖TpX−GFW⊤‖2 s.t. W⊤W=Ik.

　　因为：∥∥TpX−GFW⊤∥∥2=∥TpX∥2+∥∥GFW⊤∥∥2−2Tr(WF⊤G⊤TpX)‖TpX−GFW⊤‖2=‖TpX‖2+‖GFW⊤‖2−2Tr⁡(WF⊤G⊤TpX) 和 ∥∥GFW⊤∥∥2=∥GF∥2‖GFW⊤‖2=‖GF‖2，所以 Eq.9Eq.9 等价于

　　　　maxWTr(WF⊤G⊤TpX) s.t. W⊤W=Ik.maxWTr⁡(WF⊤G⊤TpX) s.t. W⊤W=Ik.

　　由于 [U,Σ,V]=SVD(F⊤G⊤TpX)[U,Σ,V]=SVD⁡(F⊤G⊤TpX)，所以有

　　　　Tr(WF⊤G⊤TpX)=Tr(WUΣV⊤)=∑i=1fσii<w′iU,v′i>≤∑i=1fσii∥∥w′iU∥∥×∥∥v′i∥∥=∑i=1fσii=Tr(Σ)Tr⁡(WF⊤G⊤TpX)=Tr⁡(WUΣV⊤)=∑i=1fσii<wi′U,vi′>≤∑i=1fσii‖wi′U‖×‖vi′‖=∑i=1fσii=Tr⁡(Σ)

　　这意味着当 Tr(WUΣV⊤)=Tr(Σ)Tr⁡(WUΣV⊤)=Tr⁡(Σ) 或当 V⊤WU=IV⊤WU=I 时达到了 Eq.9Eq.9 的上界，即在 W=VU⊤W=VU⊤ 时达到了最大值。

　　通过固定 FF 和 WW 并求解 FF，我们得到了一个可以通过 k-means 算法的分配步骤进行优化的问题。那么，更新规则定为

　　　　gij∗←{10 if j∗=argminj∥(TpXW)i−fj∥2 otherwise. (10)gij∗←{1 if j∗=arg⁡minj‖(TpXW)i−fj‖20 otherwise. (10)

3.2 The GCC Algorithm

　　算法步骤如 Algorithm 1 所示：

　　传播阶 pp 的选择对算法的整体性能非常重要。较小的 pp 可能意味着传播的邻域信息不足，而较大的 pp  可能导致图信号的过度平滑。Figure 3 显示了使用 t-SNE 算法[39]对不同 pp 值的 Cora 数据集的投影。

　　对于 pp 的选择如 Algorithm 2 所示：

4 Experiments

数据集

聚类结果

运行时间

5 Conclusion

　　在本文中，我们利用图卷积网络的简单公式，得到了一个有效的模型，在一个统一的框架中解决了节点嵌入和聚类问题。首先，我们提供了一个归一化，使GCN编码器在严格意义上充当低通滤波器。其次，我们提出了一种新的方法，其中需要优化的目标函数利用了来自GCN嵌入重建损失和这些嵌入的簇结构的信息。第三，我们推导了复杂性被严格研究的GCC。在此过程中，我们展示了GCC如何以更有效的方式比其他图聚类算法获得更好的性能。请注意，所有比较的方法在本质上都是无监督的，以便与我们的模型进行公平的比较。我们的实验证明了我们的方法的兴趣。我们还展示了GCC是如何与其他方法相关的，包括一些GCN变体。

　　该模型是一种灵活的模型，可以从多个方向进行扩展，为今后的研究提供了机会。例如，在我们的方法中，我们假设调节寻求重建和聚类之间的权衡的 αα 系数等于1，研究这个值的选择将是很有趣的。另一方面，虽然我们这项工作的重点是聚类，但值得将问题扩展到这样的，例如，协同聚类，这在文档聚类等许多现实场景中是有用的。

2022-06-27 创建文章

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