论文标题：Adaptive Graph Encoder for Attributed Graph Embedding
论文作者：Gayan K. Kulatilleke, Marius Portmann, Shekhar S. Chandra
论文来源：2020, KDD
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1 Introduction

　　基于 GCN 的方法有三个主要缺点：

• • 图卷积滤波器和权值矩阵的纠缠会损害其性能和鲁棒性；
  • 图卷积滤波器是广义拉普拉斯平滑滤波器的特殊情况，但没有保持最优的低通特性；
  • 现有算法的训练目标通常是恢复邻接矩阵或特征矩阵，处理与现实不符；

　　AGE 由两个模块组成：

• • 拉普拉斯平滑滤波器；
  • 自适应编码器；

　　首先，一个GCN 编码器由多个图卷积层组成，每一层包含一个图卷积滤波器 H、一个权值矩阵 (W1、W2) 和一个激活函数。[35] 证明，滤波器和权值矩阵的纠缠并没有为半监督图表示学习提供性能增益，甚至损害了训练效率，因为它加深了反向传播的路径。

　　 

　　其次，考虑图卷积滤波器， [18] 在理论上表明，它们实际上是应用于低通去噪的特征矩阵上的拉普拉斯平滑滤波器 [28]。本文证明了现有的图卷积滤波器并不是最优的低通滤波器，因为它们不能过滤某些高频噪声。因此，它们不能达到最好的平滑效果。

　　最后，本文认为这些算法的训练目标（重建邻接矩阵 [23,31] 或特征矩阵 [24,32]）与现实应用不兼容。具体来说，重构邻接矩阵是将邻接矩阵设为地面真值成对相似度，但不适合于缺乏特征信息的情况。然而，恢复特征矩阵将迫使模型记住特征中的高频噪声，因此也是不合适的。

2 Method

　　整体框架：

　　 

　　组成部分：

• • a Laplacian smoothing filter
    • Laplacian Smoothing Filter: The designed filter H serves as a low-pass filter to denoise the high-frequency components of the feature matrix  X . The smoothed feature matrix  ˜X  is taken as input of the adaptive encoder.
  • an adaptive encoder
    • Adaptive Encoder: To get more representative node embeddings, this module builds a training set by adaptively selecting node pairs which are highly similar or dissimilar. Then the encoder is trained in a supervised manner.　　

2.1 Laplacian Smoothing Filter

　　基本假设：图上邻居节点具有相似性。

2.1.1 Analysis of Smooth Signals

　　从图信号处理的角度来解释图平滑。以 x∈Rn 作为图信号，每个节点被分配一个值向量。为测量图信号 x 的平滑度，可以计算出图拉普拉斯矩阵 L 和 x 上的瑞利商：

　　　　R(L,x)=x⊤Lxx⊤x=∑(i,j)∈E(xi−xj)2∑i∈Vx2i(1)

　　PS：拉普拉斯矩阵的性质

　　fTLf=fTDf−fTWf=N∑i=1dif2i−N∑i=1N∑j=1wijfifj=12(N∑i=1dif2i−2N∑i=1N∑j=1wijfifj+N∑j=1djf2j)=12(N∑i=1N∑j=1wijf2i−2N∑i=1N∑j=1wijfifj+N∑i=1N∑j=1wijf2j)=12N∑i=1N∑j=1wij(fi−fj)2

　　Eq.1 显然是 x 的标准化方差分数。平滑信号应该在相邻节点上分配相似的值。因此，假设瑞利商较低的信号更平滑，接着给出特征向量 ui 的光滑性度量：

　　　　R(L,ui)=u⊤iLuiu⊤iui=λi(2)

　　Eq.2 表示平滑的特征向量与较小的特征值相关联，即较低的频率。因此，基于Eq.1、Eq.2   L 分解信号 x):

　　　　x=Up=n∑i=1piui(3)

　　其中 pi 是特征向量 ui 的系数，那么 x 的平滑度是：

　　　　R(L,x)=x⊤Lxx⊤x=n∑i=1p2iλin∑i=1p2i(4)

　　因此，为获得更平滑的信号，本文滤波器的目标是在保留低频分量的同时滤掉高频分量。

2.1.2 Generalized Laplacian Smoothing Filter

　　如[28]所述，广义拉普拉斯平滑滤波器为：

　　　　H=I−kL(5)

　　采用 H 作为滤波器矩阵，滤波后的信号 ˜x 为：

　　　　˜x=Hx=U(I−kΛ)U−1Up=n∑i=1(1−kλi)piui=n∑i=1p′ui(6)

　　因此，为实现低通滤波(low-pass filtering)，频率响应函数 1−kλ 应是一个递减和非负函数。叠加 t 次拉普拉斯平滑滤波器，将滤波后的特征矩阵 ˜X 表示为

　　　　˜X=HtX(7)

　　请注意，该过滤器根本是非参数化的。

2.1.3  The Choice of k

　　在实践中，使用重整化技巧 ˜A=I+A，采用对称归一化图拉普拉斯矩阵

　　　　˜Lsym=˜D−12˜L˜D−12(8)

　　此时滤波器为：

　　　　H=I−k˜Lsym(9)

　　注意，如果设置 k=1，滤波器将成为 GCN 滤波器。
　　为选择最优 k，需要计算特征值 ˜Λ 的分布（由 ˜Lsym=˜U˜Λ˜U−1 分解得到）。

　　˜x 的平滑度是

　　　　R(L,˜x)=˜x⊤L˜x˜x˜x=∑ni=1p′2iλi∑ni=1p′2i(10)

　　因此，p′2i 应随 λi 的增加而减少。将最大特征值表示为 λmax，理论上，如果 k>1/λmax ，滤波器在 (1/k,λmax] 内不是低通，因为 p′2i 在这个间隔内增加；如果 k<1/λmax 该滤波器不能使去出高频噪声部分。因此，k=1/λmax 是最优选择。

　　[7] 证明了拉普拉斯特征值的范围在 0~2 之间，因此GCN滤波器在 (1,2] 区间内不是低通的。工作 [31] 相应地选择了 k=1/2，然而，我们的实验表明，在重整化后，最大特征值 λmax 将缩小到 3/2 左右，这使得 1/2 不是最优。在实验中，我们计算每个数据集的 λmax，并设置 k=1/λmax，并进一步分析了不同 k 值的影响。

3 Adaptive Encoder

　　通过 t 层拉普拉斯平滑过滤，输出特征更平滑，保持丰富的属性信息。本文自适应地选择高相似度的节点对作为正训练样本，而低相似度的节点对作为负训练样本。

　　给定过滤后的节点特征 ˜X，节点嵌入由线性编码器 f 进行编码：

　　　　Z=f(˜X;W)=˜XW(11)

　　其中，W 是权重矩阵。然后，为度量节点的成对相似度，利用余弦相似度。相似度矩阵 S 为：

　　　　S=ZZT‖Z‖22(12)

　　接下来，我们将详细描述我们的训练样本选择策略。

3.1 Training Sample Selection.

　　在计算相似矩阵后，对相似序列按降序排列。这里 rij 是节点对的排序位置  (vi,vj)。然后将正样本的最大排序位置设为 rpos，将负样本的最小排序位置设为 rneg。因此，为节点对 (vi,vj) 生成的标签为

　　lij={1rij≤rpos0rij>rneg None  otherwise (13)

　　这样，构造了一个包含  rpos   个正样本和  n2−rneg  个负样本的训练集。在第一次构造训练集时，由于编码器没有被认训练， 直接使用平滑的特征来初始化  S  :

　　　　S=˜X˜XT‖˜X‖22(14)

　　构造好训练集后，可以用监督的方式训练编码器。在真实世界的图中，不相似的节点对总是远远多于正节点对，因此在训 练集中选择多于  rpos  个负样本。为了平衡正/负样本，在每次迭代中随机选择  rpos  个负样本。平衡训练集用  O  表示。因 此，交叉熵损失表示如下:

　　　　L=∑(vi,vj)∈O−lijlog(sij)−(1−lij)log(1−sij)(15)

3.2 Thresholds Update

　　在实践中，随着训练过程的进行，rpos  减少，而 rstneg 呈线性增加。将初始阈值设置为 rstpos  和 rstneg，最终阈值设置为 redpos  和 redneg 。有 redpos ≤rstpos  和 redneg≥rstneg. 。假设阈值被更新为 T次，我们将更新策略表示为

　　　　r′pos =rpos+redpos −rstpos T(16)

　　　　r′neg=rneg+redneg−rstnegT(17)

　　随着训练过程的进行，每次阈值更新时，都会重建训练集并保存嵌入。

　　对于节点聚类，我们对保存嵌入的相似矩阵进行谱聚类[22]，利用戴维斯堡丁索引[8](DBI)选择最佳时期，在没有标签信息的情况下测量聚类质量。对于链路预测，我们在验证集上选择执行得最好的历元。Algorithm 1 给出了计算嵌入矩阵 Z 的总体过程。

　　

4 Experiments

数据集

　　

节点聚类

　　 

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