抽象代数习题(28) -- 向量空间

抽象代数习题(28) – 向量空间

Sat Feb 5, 2022

《抽象代数》第二十八章讲的是向量空间的基础知识。本书对读者（比如我）的基础知识要求不高，专门用了一个章节讨论这些通常在线性代数课中应已涵盖的内容。在后续的章节中，常会把用域 F 中的元素视为数，扩域 K 中的元素视为“向量”，使他们构成一个向量空间，然后用向量空间的性质证明一些结论。

B.2 证明 {(a,b,c)∈R3:2a−3b+c=0} 是 R3 的子空间。

证明 设 U={(a,b,c)∈R3:2a−3b+c=0}。显然 U⊆R3。设 x=(a1,b1,c1),y=(a2,b2,c2)∈U，则有 2(a1+a2)−3(b1+b2)+(c1+c2)=0 这表明 x+y∈U，因此 U 对加法封闭。

这里讨论的数域 F=R。对任意 k∈R 有 2(ka1)−3(kb1)+(kc1)=0 这表明 kx∈U，因此 U 对数乘封闭。

综上所述，U 是 R3 的子空间。

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C.5 求下列 R3 的子空间的一组基。

1. S1={(x,y,z)∈R3:3x−2y+z=0}
2. （其余略）

解 S1 的一组基为 B={(1,0,−3),(0,1,2)}。首先，不难验证这一组向量线性无关。其次，B 中向量的任意线性组合都在 S1 中。最后，对于 S1 的任意向量 (x,y,z)，可以将其分解为 (x,y,z)=x(1,0,−3)+y(0,1,2) 可见，B 生成 S1。因此，B 是 S1 的基。

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C.6 求 R3 的由下述向量集合生成的子空间的一组基：所有满足 x2+y2+z2=1 的向量。

解 易知 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) 都满足 x2+y2+z2=1。它们线性无关。（事实上，它们生成的子空间就是 R3 本身。）所以 {e1,e2,e3} 就是满足要求的一组基。

注 这题问的不是 {(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2} 的一组基；事实上，它根本就不是向量空间。

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C.7 设 U 是 F(R) 的子空间且由 {cos2⁡x,sin2⁡x,cos⁡2x} 生成。求 U 的维数，并求 U 的一组基。

解 设 B={cos2⁡x,sin2⁡x,cos⁡2x}。根据三角函数知识可知 cos⁡2x=cos2⁡x−sin2⁡x。根据本章引理 2，B 中删去 cos⁡2x 后得到的 B′={cos2⁡x,sin2⁡x} 仍然生成 U。这时，列方程 k1cos2⁡x+k2sin2⁡x=0 因为 cos2⁡x+sin2⁡x=1，所以方程等价于 (k1−k2)cos2⁡x+k2=0 假设 k1−k2≠0，则 cos2⁡x=k2k2−k1 这是不可能的，因为等式右边是常数，而 cos2⁡x 显然不是一个常数函数。所以只可能是 k1−k2=0，进而可以解得 k1=k2=0。这表明 B′ 中的向量线性无关。

综上所述，B′={cos2⁡x,sin2⁡x} 是 U 的一组基。因此 dim⁡U=2。

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设 V 是有限维向量空间。记 dim⁡V 为 V 的维数。证明下列命题。

D.1 如果 U 是 V 的子空间，则 dim⁡U≤dim⁡V。

证明 设 n=dim⁡U, m=dim⁡V。那么 {e1,…,en} 是 U 的一组基，于是 e1,…,en 线性无关。假设 n>m，则 {e1,…,em} 是 V 中一组线性无关的向量，从而构成 V 的一组基。而 em+1∈U⊆V，这意味着 em+1 可以用 {e1,…,em} 的线性组合表示，这和 e1,…,en 线性无关矛盾。因此假设不成立，只可能是 n≤m。

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D.2 如果 U 是 V 的子空间，且 dim⁡U=dim⁡V，则 U=V。

证明 设 n=dim⁡U=dim⁡V。那么 {e1,…,en} 是 U 的一组基。因为 U 是 V 的子空间，所以 e1,…,en 都是 V 中的向量，而 dim⁡V=n，所以这一组向量也是 V 的一组基。这表明 U 和 V 由同一组向量生成，所以 U=V。

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D.6 如果 {a,b,c} 线性无关，那么 {a+b,b+c,a+c} 也线性无关。

证明 列方程 k1(a+b)+k2(b+c)+k2(a+c)=0 该方程等价于 (k1+k3)a+(k1+k2)b+(k2+k3)c=0 根据 {a,b,c} 线性无关可知 k1+k3=k1+k2=k2+k3=0。解得 k1+k2+k3=0。因此 {a+b,b+c,a+c} 也线性无关。

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设 U 和 V 是 F 上的有限维向量空间，并设 h:U→V 是线性变换。证明 1–3。

E.1 h 的核是 U 的子空间。（这称为 h 的零空间 (null space)。）

证明 设 K 是 h 的核。显然 K⊆U。设 x,y∈K，那么 h(x)=h(y)=0。于是 h(x+y)=h(x)+h(y)=0+0=0 这意味着 K 对加法封闭。

另一方面， h(kx)=kh(x)=k0=0 这意味着 K 对数乘封闭。

综上所述，K 是 U 的子空间。

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E.2 h 的值域是 V 的子空间。（这称为 h 的值域空间 (range space)。）

证明 值域中的任意元素都有原像。仿照 E.1 的证明，利用 h 的线性性质证明值域对加法和数乘封闭即可。

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设 N 为 h 的零空间，且 R 为 h 的值域空间。设 {a1,…,ar} 为 N 的一组基。将其扩展为 U 的一组基 {a1,…,ar,…,an}。

证明 4–6。

E.4 任意向量 b∈R 都是 h(ar+1),…,h(an) 的线性组合。

证明 因为 b∈R，所以存在 a∈U 使得 h(a)=b。因为 {a1,…,ar,…,an}是 U 的一组基，所以可以将 a 表示为它们的线性组合：存在 k1,⋯,kn∈F 使得 a=k1a1+…+knan 根据线性映射的线性性质，有 b=h(a)=h(k1a1+…+knan)=k1h(a1)⏟=0+⋯+krh(ar)⏟=0+kr+1h(ar+1)+⋯+knh(an)=kr+1h(ar+1)+⋯+knh(an) 这表明 b 可以表示为 h(ar),…,h(an) 的线性组合。这就是所要证明的。

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E.5 {h(ar+1),…,h(an)} 线性无关。

证明 假设 {h(ar+1),…,h(an)} 线性相关，那么存在不全为零的 kr+1,…,kn∈F 使得 kr+1h(ar+1)+…+knh(an)=0 设 a=kr+1ar+1+⋯+knan 那么，根据线性映射的性质可知 h(a)=0。这表明 a∈N，因此它可以表示为 a1,…,ar 的线性组合：存在 k1,…,kr∈F 使得 a=k1a1+⋯+krar 于是 k1a1+⋯+krar−kr+1ar+1−⋯−knan=0 注意以上等式中的系数不全为零，这意味着 {a1,…,an} 线性相关。这和 {a1,…,an} 是 U 的一组基（应当线性无关）矛盾！所以假设不成立，因此只可能是 {h(ar+1),…,h(an)} 线性无关。

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E.6 R 的维数是 n−r。

证明 根据 E.3 和 E.4 可知 {h(ar+1),…,h(an)} 是 R 的一组基。因为这组基有 n−r 个向量，所以 dim⁡R=n−r。

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E.7 作出如下结论：对于任意线性变换 h，定义域的维数等于零空间的维数加值域空间的维数。

证明 根据 E.6 立即得到结论。

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E.8 设 U 和 V 有相同的维数 n。使用 E.7 证明 h 是单射当且仅当 h 是满射。

证明 设 h 是满射，那么 h 的值域空间就是 V。根据 E.7 可知 h 的零空间是零维的，即 {0}。设 h(a)=h(b)，其中 a,b∈U，那么 h(a−b)=h(a)−h(b)=0 所以 a−b 在 h 的零空间中，那么只可能是 a−b=0，于是 a=b。这就证明了 h 是单射。

反过来，设 h 是单射。对于 h 的零空间的任意元素 a 都有 h(a)=0。而因为零空间是线性空间，所以一定包含 0。根据 h 是单射可知 a=0。因此，h 的零空间只有唯一的元素 0，因此是零维空间。根据 E.7 可知 h 的值域空间是 V 的 n 维子空间。而 V 的维数是 n，根据 D.2 可知 h 的值域空间就是 V。这就证明了 h 是满射。

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