一切三段成三角形
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一切三段成三角形
听到一个题目，还挺有意思，所以记录一下。
问：一个绳子长a，任意剪两刀变成三段后，可以组成一个三角形的概率是多少？
分析一下题目，一段长度固定的绳子，切割为三段，则：
1. 任意一段绳子的长度大于0小于a；
2. 任意两段绳子的长度大于0小于a。
而三段绳子可以组成一个三角形，而三角形中两边之和大于第三边，所以意味着：
1.任意一段的长度小于a/2；
2.任意两段的长度和大于a/2.
现在设其中两段的长度分别为 x, y，画出一个直角坐标系，如下图所示。
同时连接(0, a), (a, 0)两点，则切割绳子后其中两段的长度的所有可取的值对应由(0, 0),(a, 0), (0, a)组成的三角形区域。
简单证明如下：对于任意一点B,我们做其对y轴的垂线，相交与点P,而点B位于(a, 0) (0, a)的连线时，对应∠PAB=45o∠PAB=45o,此时
PB=PA⇒PB+PO=PA+PO=aPB=PA⇒PB+PO=PA+PO=a,而当P位于连线外侧，则∠PAB>45o∠PAB>45o,对应PO+PB>PO+PA=aPO+PB>PO+PA=a,不满足约束。而ΔAOCΔAOC 的面积为 a2/2a2/2.
而对于能组成三角形时，首先任意一条长度小于a/2a/2，对应(0, a/2),(a/2,a/2)连线与(a/2,0)(a/2,a/2)连线围城的矩形区域，而任意两边之和大于a/2a/2,利用之前的方法可以证明是(0,a/2)(a/2, 0)连线右侧区域，两者的交即图中绿色三角形区域，其面积为(a/2)2/2=a2/8(a/2)2/2=a2/8
所以最后结论是组成三角形的概率为两个面积之比：
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