机器学习（十）——K-Means算法

2016-09-05

贝叶斯统计和规则化ML（续）

因为预测样本集和训练样本集的分布是独立的，因此上式又可写为：

p(y∣x,S)=∫θp(y∣x,θ)p(θ∣S)dθ

这个公式又被称作后验预测分布（Posterior predictive distribution）。

p(θ∣S)可由前面的公式得到。

假若我们要求期望值的话，那么套用求期望的公式即可：

E[y∣x,S]=∫yyp(y∣x,S)dy

由上可见，贝叶斯估计将θ视为随机变量，θ的值满足一定的分布，不是固定值，我们无法通过计算获得其值，只能在预测时计算积分。

上述贝叶斯估计方法，虽然公式合理优美，但后验概率p(θ∣S)通常是很难计算的，因为它是θ上的高维积分函数。

观察p(θ∣S)的公式，在分母P(S)一定的情况下，分子越大则值越大，也就是p(θ∣S)的概率越大。

因此，可得如下算法：

θMAP=arg⁡maxθ(∏i=1mp(y(i)∣x(i),θ))p(θ)

这个算法叫做最大后验概率估计（maximum a posteriori）。

和ML相比，MAP算法只是在最后多了一项p(θ)。通常使用中，我们认为p(θ)符合θ∼N(0,τ2I)。

由于p(θ)实际上就是先验分布，它会对最后结果进行一定的修正。因此，实际上最大后验概率估计相对于最大似然估计来说，较容易克服过度拟合的问题。

http://www.cs.cornell.edu/courses/cs5540/2010sp/lectures/Lec9.Estimation-continued.pdf

Statistical Estimation: Least Squares, Maximum Likelihood and Maximum A Posteriori Estimators

https://mp.weixin.qq.com/s/XnsbCb7H9jHmJ4dV9p2Oug

频率学派还是贝叶斯学派？聊一聊机器学习中的MLE和MAP

https://mp.weixin.qq.com/s/dQxN46wEbFrpvV369uOHdA

详解最大后验概率估计（MAP）的理解

K-Means算法

聚类算法属于无监督学习算法的一种。它的训练样本中只有x(i)，而没有y(i)。聚类的目的是找到每个样本x潜在的类别y，并将同类别y的样本x放在一起，形成一个聚类（clusters）。样本x(i)所属的聚类用c(i)表示。

K-Means算法的步骤如下:

1.随机选取k个聚类质心点（cluster centroids）μ1,…,μk
2.重复下面过程直到收敛 {

对于每一个样例i，计算其应该属于的聚类：c(i):=arg⁡minj‖x(i)−μj‖2
对于每一个聚类j，重新计算该聚类的质心：μj:=∑i=1m1{c(i)=j}x(i)∑i=1m1{c(i)=j}。

其中，k是我们事先定义的聚类个数。下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

K-means算法面对的第一个问题是如何保证收敛。前面的算法中强调结束条件就是收敛，可以证明的是K-means完全可以保证收敛性。下面我们定性的描述一下收敛性，我们定义畸变函数（distortion function）如下：

J(c,μ)=∑i=1m‖x(i)−μc(i)‖2

J函数表示每个样本点到其质心的距离平方和。K-means算法的目的是要将J调整到最小。假设当前J没有达到最小值，那么首先可以固定每个类的质心μj，调整每个样例的所属的类别c(i)来让J函数减小，同样，固定c(i)，调整每个类的质心μj，也可以使J减小。 这两个过程就是内循环中使J单调递减的过程。当J递减到最小时，μ和c也同时收敛。（在理论上，可以有多组不同的μ和c值，能够使得J取得最小值，但这种现象实际上很少见。）

由于畸变函数J是非凸函数，意味着我们不能保证算法取得的最小值是全局最小值，也就是说k-means对质心初始位置的选取比较敏感。但一般情况下k-means达到的局部最优已经满足需求。但如果你怕陷入局部最优，那么可以选取不同的初始值跑多遍k-means，然后取其中最小的J对应的μ和c输出。

http://www.csdn.net/article/2012-07-03/2807073-k-means

深入浅出K-Means算法

http://www.cnblogs.com/leoo2sk/archive/2010/09/20/k-means.html

k均值聚类(K-means)

http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006910.html

K-means聚类算法

https://mp.weixin.qq.com/s/86MlCMKAG0ax3gvfsgmYtg

K-Means聚类算法详解

https://mp.weixin.qq.com/s/Sl3lTS1zvq0BgAayAUcOXg

K-Means实战与调优详解

https://mp.weixin.qq.com/s/6ErpBtVg0r2dhsBGbIkvDg

Bisecting K-Means算法

https://mp.weixin.qq.com/s/oAvNzxENTfaxUkSRypCo1g

K-Means算法的10个有趣用例

https://zhuanlan.zhihu.com/p/45408671

K-Means小谈

聚类结果的评价

可考虑用以下几个指标来评价聚类效果：

1.聚类中心之间的距离。距离值大，通常可考虑分为不同类。

2.聚类域中的样本数目。样本数目少且聚类中心距离远，可考虑是否为噪声。

3.聚类域内样本的距离方差。方差过大的样本可考虑是否属于这一类。

Elbow Method

K-means算法中，K值的选取除了依赖领域知识之外，还可以采用Elbow Method（肘部原则）来确定。

上图中的蓝线是畸变率，数值越低越好，而绿线是计算时间，也是数值越低越好。可以看出K=8的时候，效果最佳。实际上即使只有一根线，我们也可以判断K取值的优劣：折线的斜率在K=8处，变化较大，形如人的肘部，故名。

https://www.scikit-yb.org/en/latest/api/cluster/elbow.html

Elbow Method

https://bl.ocks.org/rpgove/0060ff3b656618e9136b

Using the elbow method to determine the optimal number of clusters for k-means clustering

高斯混合模型和EM算法

本篇讨论使用期望最大化算法（Expectation-Maximization）进行密度估计（density estimation）。

从上面的讨论可以形象的看出，聚类问题实际就是在数据集上，找出一个个数据密度较高的“圆圈”。我们可以反过来思考这个问题：如果我们已知圆圈的圆心和半径，那么也可以根据圆心、半径以及样本分布模型，来随机生成这些数据。显然，这和前一种做法在效果上是等效的。

首先我们假设样本数据满足联合概率分布

(5)p(x(i),z(i))=p(x(i)∣z(i))p(z(i))

其中，z(i)∼Multinomial(ϕ)（这里的ϕj=p(z(i)=j)，因此ϕj≥0,∑j=1kϕj=1），z(i)的值为k个聚类之一。

假定x(i)∣z(i)=j∼N(μj,Σj)，则该模型被称为高斯混合模型（mixture of Gaussians model）。

整个模型简单描述为对于每个样例x(i)，我们先从k个类别中按多项分布抽取一个z(i)，然后根据z(i)所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例x(i)。注意的是这里的z(i)是隐含的随机变量（latent random variables）。

因此，由全概率公式可得：

(6)p(x(i);ϕ,μ,Σ)=∑z(i)=1kp(x(i)∣z(i);μ,Σ)p(z(i);ϕ)

该模型的对数化似然函数为：

ℓ(ϕ,μ,Σ)=∑i=1mlog⁡p(x(i);ϕ,μ,Σ)=∑i=1mlog⁡∑z(i)=1kp(x(i)∣z(i);μ,Σ)p(z(i);ϕ)

这个式子的最大值不能通过求导数为0的方法解决的，因为它不是close form。（多项分布的概率密度函数包含阶乘运算，不满足close form的定义。）

为了简化问题，我们假设已经知道每个样例的z(i)值。这实际上就转化成《机器学习（二）》所提到的GDA模型。和之前模型的区别在于，z(i)是多项分布，而且每个聚类的Σ都不相同，但结论是类似的。

这里的直接推导非常复杂，可参考以下文章：

http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE586/lectures/EMLectureFeb3.pdf

上面这篇文章比较直观，比Andrew讲义的Problem Set详细的多。然而Andrew这样写是有原因的，在后面的章节，借助Jensen不等式，Andrew给出一个更简单且一般化的推导过程。

接下来的问题就是：z(i)的值我们是不知道的，该怎么办呢？

EM算法的思路是：

1.猜测z(i)的值。（这一步即所谓的Expectation，简称E-Step。）
2.最大化计算，以更新模型的参数。（这一步即所谓的Maximization，简称M-Step。）

具体到这里就是：

Repeat until convergence {

(E-step) For each i, j：

wj(i):=p(z(i)=j∣x(i);ϕ,μ,Σ)

(M-step) Update the parameters：

ϕj:=1m∑i=1mwj(i)
μj:=∑i=1mwj(i)x(i)∑i=1mwj(i)
Σj:=∑i=1mwj(i)(x(i)−μj)(x(i)−μj)T∑i=1mwj(i)

E-Step中，根据贝叶斯公式可得：

p(z(i)=j∣x(i);ϕ,μ,Σ)=p(x(i)∣z(i)=j;μ,Σ)p(z(i)=j;ϕ)∑l=1kp(x(i)∣z(i)=l;μ,Σ)p(z(i)=l;ϕ)

将假设模型的各概率密度函数代入上式，即可计算得到wj(i)。

相比于K-means算法，GMM算法中的z(i)是个概率值，而非确定值，因此也被称为soft assignments。

K-means算法各个聚类的特征都是一样的，也就是“圆圈”的半径一致。而GMM算法的“圆圈”半径可以不同。如下面两图所示：

K-means算法	GMM算法

注意：这里的圆圈是先验估计值，它和最后的聚类形状无关。

GMM算法结果也是局部最优解。对其他参数取不同的初始值进行多次计算同样适用于GMM算法。