矩阵与线性变换的概念理解

今天看了一本叫做 数学女孩 的书。其实里面是关于一些数学科普的内容，翻到其中一页，写到：

角的旋转可以用下面的矩阵来标识

老实讲，我大学线性代数学的不好，很多基本概念都没有理解清楚，所以看到这里，虽然能理解下面矩阵乘法的含义，但是对于上面这个始终没有概念。

于是我去搜了一些资料。

代数的解释#

搜到知乎上欧比旺麦格雷戈的回答，是这样来解释的。

在直角坐标系画一画就知道了。设点离坐标原点距离r，与x轴夹角，将点绕原点逆时针旋转，旋转之后点的坐标为 。显然与原点距离不变，仍然为r。

显然如下关系成立：整理得到：把上面这两个方程写成矩阵形式：

所以，只要用上面这个矩阵作用在一个矢量(x,y)上，就会得到旋转之后的矢量(x',y')。因此，这个矩阵就代表了把矢量逆时针旋转的旋转操作。 旋转两次当然就是用这个矩阵在矢量上作用两次。当然，也可以直接代入到旋转矩阵里面。结果是一样的：

这算是代数的解释了，通过三角函数来找两个角之间的关系，我觉得也是个解释的方法。

几何的解释#

我继续搜索，发现其实这样计算的形式在很多时候被称作线性变换。

简单的说：

1. 向量角度的旋转，可以认为是坐标系的旋转（向量顺时针转90°可以认为是坐标系逆时针旋转了90°）
2. 坐标系的旋转可以认为是x轴和y轴的变换。对于原坐标系的向量，比如 $$\left ( 3,4 \right )$$ ，可以表示为 $$\left(3i,4j\right)$$，这里的$$i$$，$$j$$就是基向量。
3. 当坐标轴旋转的时候，基向量首先旋转，$$i = (1,0), j = (0,1)$$；旋转之后 $$i = (0,1),j = (-1,0)$$
4. 新的向量就是$$x \times \begin{bmatrix} 0\ 1 \end{bmatrix} , y \times \begin{bmatrix} -1\ 0 \end{bmatrix}$$
5. 用矩阵的写法就是$$\begin{bmatrix} x\ y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1\ -1&0 \end{bmatrix}$$

回到最开始#

通过基向量变换的思考，我大致理解了矩阵和角度变换的关系。

回到最开始的这个矩阵。

$$\begin{bmatrix} cos\theta &-sin\theta\ sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}$$

有没有发现

$$\begin{bmatrix} cos\theta \ sin\theta \end{bmatrix}$$

其实就是给x的基向量倾斜了一个角度，而我们上一节说的旋转90度，也刚刚好是这个矩阵角度为在∠90的一个特殊情况。

这里顺便要推荐bilibili上3Blue1Brown字幕组翻译的课程 “线性代数的本质” 。实话讲比课本上看的直观透彻多了。