假设自助手打冰激凌可以无限垒高，冰淇淋对地面的最大投影面积是多少？

竖直方向投影面积取决于冰激凌坚硬的程度。

如果是刚体冰淇淋，即硬度无限大，那么答案就是投影面积为 ，这是简单的调和级数问题：

即冰淇淋每圈往外扩张单位长度的 ，是没有有限上界的.

在流体力学术语中，粘性指的是流体抗拒变形的能力。粘性越大，其抗拒外界剪切力作用的能力越强。然而冰淇淋虽然具有一定的粘性，可是毕竟有限。一旦圈数太大，累层太高，底层的冰激凌所受到足够大的重力，其结果就是底层被压坏，从而导致顶层脱落，最后剩下一柄雪糕剑。

那怎么办？在能支持有限重量的限制下，如何扩大投影面积？

最简单的想法就是将每一圈层冰淇淋变薄，这样在不改变重量上限的情况下，可以尽可能地增加新的层数，以此扩大面积的直径。

要理解这个问题是在问什么，我们需要先来考虑一下，在现实中，是什么在限制我们无限冰激凌叠罗汉。

在不考虑冰激凌融化的情况下，限制我们无限冰激凌叠罗汉的，其实只有一个因素，那就是我们从机器里接冰激凌的手。

如果像题目中描述的那样，冰激凌可以看做是一个个相互连接的刚体小片，那么理论上，只要我们的手足够稳，能够做到每一个冰激凌小片都刚好正正地落在前一片的正上方，那么我们的冰激凌叠罗汉就可以无限地叠下去，直到店老板看不下去，把我们赶出去。

但是现实情况是，我们是没有办法做到一直这么稳定的操作的。在接冰激凌的时候，总会有无法控制的抖动导致冰激凌出现随机的偏移，这个偏移会随着冰激凌的不断增加逐渐累积，直到整个冰激凌不堪重负，掉在地上。这也就是为什么即使是那种以长度作为卖点的超长冰激凌，一般也只有30厘米左右而已。

而题目中所问的情况，可以说是这种现实情况的反问题。也即：如果我们能够做出无限长度的冰激凌叠罗汉，那么，在这个过程中，可以允许我们有多大程度的偏移。

要求解这个问题，我们首先需要考虑其中第N片冰激凌小片的受力情况。

显然，在我们这个无限长度的冰激凌叠罗汉里，每一片冰激凌小片的受力情况都是一样的。除了竖直方向的力之外，它受到两个力的作用，一个是来自它上方的无穷多片冰激凌小片的偏移的拉力，另外一个是它和它下方的冰激凌小片之间的弹簧的牵引力。

只有在每一个冰激凌小片受到的偏移拉力都小于等于弹簧的牵引力的时候，整个冰激凌叠罗汉才是稳定的。

因为每一片冰激凌小片所能接受的牵引力都仅仅来自于它和它下方的冰激凌小片之间的弹簧，所以维持整个冰激凌叠罗汉稳定的牵引力是一个有限的数值。而我们的冰激凌叠罗汉的长度是无限的，所以每一片冰激凌小片累计造成的偏移拉力也是一个有限的数值。也即：我们的冰激凌叠罗汉最终的投影面积必然是有限的数值。

现在的问题就在于，这个数值应该是多少？

因为我们的冰激凌叠罗汉是由无穷多个冰激凌小片组成的，而且每一片冰激凌小片都完全相同，所以我们可以任选一片冰激凌小片作为整个冰激凌叠罗汉的起始片，而去掉这一片小片下面的部分，所得到的这个冰激凌叠罗汉，和原始的冰激凌叠罗汉是完全一样的。

对于累积的偏移拉力的这个无穷级数，去掉前面的任意多项，都不会影响级数的数值。但是另外一方面，由前面的推理我们知道，累积的偏移拉力是一个收敛的无穷级数。因此，只有一种可能性，那就是，累积的偏移拉力，根本就不会对我们的冰激凌叠罗汉造成稳定性的影响。

这也就是说，我们的冰激凌叠罗汉的整体的重心，一直都没有脱离开最初的那一个冰激凌小片。

而每一片冰激凌小片都是同样的 的正方形，所以，最终这个无穷长度的冰激凌叠罗汉的投影面积不会超过 。

看完这一通，你可能似懂非懂，也可能已经被绕晕了。

如果说去问一个大学生，他最痛苦的公共课是哪一门，十有八九回答会是高数。甚至还有一个段子：“从前有一棵树，叫做高树，上面挂了很多人……”

也经常会有人问：高数里的这些函数、矩阵、积分到底有什么用。

但在实际上，线性代数、微分、积分这些“硬货”就像另外一种语言，让我既能从A视角看世界，又能开启B视角的观察，而这个B视角，往往能带给我治愈和快乐。

比如最简单的数列极限，就可以拿来求解这种看似和高数毫不相干的冰激凌叠罗汉的问题，最终得到的答案未必准确，但能让人顺着逻辑抽丝剥茧，不能自拔，这本身就是一种治愈。

阿里全球数学竞赛月底就要预赛了，估计会有不少这类题目，估计又是一场盛大的颅内GC，等我参加完再来跟各位分享感受吧。

首先光看题主所列的题目，很明显有很多表述是有待改进的，比如什么是“弹簧系数”（我想应该是弹性系数）、正方形刚体片又是如何摆放，而且为什么采用正方形刚体片而不用圆形刚体片等等。

即使是把题目的这些表述改过来以后，这道题就变成了一个建模题，单纯用数学知识是没有办法解决这个题目的，需要一些工程上的设计。

不过从

小时候家里人喜欢打麻将，然后我就经常拿麻将来垒成金字塔，然后从麻将中“抽出”一个个麻将使得金字塔不会倒塌，如图所示。

现在我们的问题是：对于一整副麻将（只算“万条饼字”，共108张牌），我们拿105张牌可以垒成一个14层的金字塔，最顶层有1个，最底层有14个，从下到上记为第 层。垒成金字塔的形式以后，我们从中间抽取麻将牌，并要求第14层的那张牌和每层最外面的牌不能抽走，问最多能抽走多少张牌？

这个问题也需要建立一个合适的数学模型，建立完成之后可以变成一个纯粹的数学题（不需要用物理知识也能解决），不过也并不是那么简单的，有兴趣的同学可以思考一下哦(doge)

我没有看懂这个问题。不过我想到了一个类似的问题：如果每一层冰淇淋都往右偏移，有没有什么办法能够让冰淇淋一直叠下去？

答案是，在保证重心不偏移的情况下，理论上是可以做到无限层冰淇淋叠加的。

而且叠加的长度可以计算出来：1/2+1/3+1/4+...+1/n

它是发散的调和级数，即长度为正无穷.

这是个很有意思的题目啊，相当于刚体的正方形能累的多宽。

那感觉可以这样往上慢慢延伸，每个部分都漏一点点出来，然后上面部分用重量压住，可以下面一个倒金字塔，上面一个正金字塔。

那看起来可以无限扩大了。

当然，我这是外行人的脑洞，不够严谨，也没有精密计算，不足以解答全球大赛的征集题目，但阿里办的这个全球数学竞赛本身还是挺有意义的，就是能让非数学领域的普通人也产生兴趣。

曾经有很多能解决实际问题的数学推论，一开始也只是一个脑洞，但未来会产生现实意义。举个例子，最简单的无穷数这个概念，很多人中学的时候就知道了，哪怕不知道，也知道宇宙广大浩瀚无边的直观感受。

19世纪末，有一位数学家，提出了一个这样的假设，有一个拥有无限客房的酒店，客人已经住满了，有一对老夫妇非常疲惫的进来想要入住，那前台看着不忍心，就说那这样，一号房的客人移到二号房，二号房的客人移到三号房，一直这样持续下去，那……一号房就空出来了。

这就是德国数学家希尔伯特提出的和无限集合有关的数学悖论，如果再衍生，那把一号房的客人移到二号房，二号房的移到四号房，三号房的移到六号房，都是乘以二，那空下来的房间，就都是奇数号的房间，那还可以塞无数的客人进去。

当然希尔伯特酒店悖论没那么简单，但是就如同中国人都听过的哥德巴赫猜想一样，一个简单的「任一大于2的整数都可写成三个质数之和」，都可以引发长达将近300年的无数数学家前赴后继。

这就是数学脑洞的魅力。

其实很多数学大牛，厉害之处并不只是会写天书一样的公式，更重要的是具备充分的数学思维。日常生活中，我们普通人并不需要一定成为顶尖数学家才能对生活有益处，但可以培养数学思维，锻炼一种思考的能力。

举个江湖上很有意思的段子，你去买披萨，想买个12寸的，店员说没有了，给你两个6寸的好不好。

你如果拿了，那就是傻子，因为一个是12寸和6寸指的是直径，你吃的，是面积。

还有一个稍微复杂一点的例子，一辆出租车撞人后跑了，这城市就两种颜色的出租车，一种是红色的，占比特别多，有85%，一种是黄色的，占比只有15%。刚好有目击者看到，说是黄色的，就是比较少的那种。

但是警察发现，这个目击者在当时的灯光下，有20%的几率发生错误，剩下80%的时候是能判定正确的。那问，警察应该先从哪家出租车公司开始查。其实直观感受，那肯定是黄色的啊，目击者犯错的比例那么少，才20%。

但是，如果把贝叶斯定律带进去，其实现场是黄色出租车的概率只有41%，还不到一半。

是不是很反直觉，但是这就是利用数学降维打击的真实例子。

我之前还听过专门学数学的朋友说过，工具掌握多了以后，坐在阳台上看楼下人来人往，日出日落，都能玩儿自己一天，脑子一直不会停，无法想象，那是怎样沉浸式的快乐啊。

所以，虽然这个问题问的是垒冰淇淋，但是如果想深挖，其实能衍生出很多好玩的角度，比如既然是刚体，在运动中和受力作用后，形状和大小不变，那怎么用最少的冰淇淋搭出最大的面积呢。

再比如怎么样的搭建才能让上面那么多冰淇淋保持平衡不用手扶着呢，刚体定轴转动又来了。所以说数学是很多学科的基础，抽象性思维能带来很多妙用。

别看垒冰淇淋简单，美国特拉华州大学用了100多个来自不同家庭的孩子做过跟踪调查实验，爱垒积木的孩子，未来解决复杂数学问题的能力有明显高处其他孩子很多。

所以数学无处不在，看到什么都往数学上想想，会有很多惊喜。