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Lp范数的上下界分析
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一个简单直观Lp范数上下界推导，并获得一个重要的结论。
闵可夫斯基距离为，
d(X,Y)=(n∑i=1|xi−yi|p)1pd(X,Y)=(∑i=1n|xi−yi|p)1p可以简约成LpLp范数，表示为，
Lp(x1,…,xn)=(n∑i=1∣∣xi∣∣p)1pLp(x1,…,xn)=(∑i=1n|xi|p)1p有时候我们想快速确认其范围，而又不想直接计算，如何做呢？
上下界分析
假设|x1|,|x2|,…,|xn||x1|,|x2|,…,|xn|中，|x|j|x|j最大，那么有，
Lp(x1,…,xn)=(n∑i=1∣∣xi∣∣p)1p≤(n∑i=1∣∣xj∣∣p)1p=(n∣∣xj∣∣p)1p=n1p|x|j=n1pmax(|x1|,|x2|,…,|xn|)Lp(x1,…,xn)=(∑i=1n|xi|p)1p≤(∑i=1n|xj|p)1p=(n|xj|p)1p=n1p|x|j=n1pmax(|x1|,|x2|,…,|xn|) Lp(x1,…,xn)=(n∑i=1∣∣xi∣∣p)1p≥(∣∣xi∣∣p)1p=max(|x1|,|x2|,…,|xn|)Lp(x1,…,xn)=(∑i=1n|xi|p)1p≥(|xi|p)1p=max(|x1|,|x2|,…,|xn|) max(|x1|,|x2|,…,|xn|)≤(n∑i=1∣∣xi∣∣p)1p≤n1pmax(|x1|,|x2|,…,|xn|)max(|x1|,|x2|,…,|xn|)≤(∑i=1n|xi|p)1p≤n1pmax(|x1|,|x2|,…,|xn|)当pp很大的情况下，n1pn1p接近1。因此，当我们要估计Lp(x1,…,xn)Lp(x1,…,xn)的取值范围时，只需要计算数据的最大值以及n1pn1p即可。
这个推导也获得一个重要的结论，
limp→∞(n∑i=1∣∣xi∣∣p)1p=max(|x1|,|x2|,…,|xn|)limp→∞(∑i=1n|xi|p)1p=max(|x1|,|x2|,…,|xn|)也就是说L∞(x1,…,xn)=max(|x1|,|x2|,…,|xn|)L∞(x1,…,xn)=max(|x1|,|x2|,…,|xn|)。
本文介绍一种获得Lp范数的上下界的简单方法，并得到L∞(x1,…,xn)=max(|x1|,|x2|,…,|xn|)L∞(x1,…,xn)=max(|x1|,|x2|,…,|xn|)。
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