有理数与确界原理

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2022-02-25 分类于数学，分析

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证明有理数集不满足确界原理．

在介绍实数的构造的时候，我们知道，实数与有理数的最大区别，就是实数有完备性，而有理数没有．完备性的描述有很多种，常见的一种是用确界原理来描述，即

对于一个全序集 SSS，若非空有上界的 E⊆SE\subseteq SE⊆S，则 SSS 中存在 EEE 的上确界（最小上界）．

这里面的一个关键就是，我们要证明：

有理数集不满足确界原理．

我们考虑集合 G={x∈Q∣x2<2}G=\{\,x\in \mathbb{Q} \mid x^2<2\,\}G={x∈Q∣x2<2}，我们要证明 GGG 在 Q\mathbb{Q}Q 中不存在上确界．

需要注意的是，因为 2\sqrt{2}2 并不是有理数，所以这个地方不能直接用有理数稠密性来证明．

我们不妨假设 p∈Qp\in \mathbb{Q}p∈Q 是 GGG 的上确界，则我们只需要：

（1）证明 p2=2p^2=2p2=2 不成立．

（2）证明 p2>2p^2>2p2>2 不成立．

（3）证明 p2<2p^2<2p2<2 不成立．

就可以知道，不存在 p∈Qp\in\mathbb{Q}p∈Q 为 GGG 的上确界．也就是说，Q\mathbb{Q}Q 不满足确界原理．

参考资料：

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