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🎈 作者：Linux猿

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目录

🍓一、什么是二分查找算法 ？

🍓二、二分查找算法

🚩2.1 普通二分查找 

⭐2.1.1 算法步骤

⭐2.1.2 动图演示

⭐2.1.3 代码实现

🚩2.2 二分查找下界

⭐2.2.1 算法步骤

⭐2.2.2 动图演示

⭐2.2.3 代码实现

🚩2.3 二分查找上界

⭐2.2.1 算法步骤

⭐2.2.2 动图演示

⭐2.2.3 代码实现

🍓三、STL 中的二分查找函数

🚩3.0 头文件

🚩3.1 普通二分查找

⭐3.1.1 函数介绍

⭐3.1.2 代码示例

🚩3.2 二分查找下界

⭐3.2.1 函数介绍

⭐3.2.2 代码示例

🚩3.3 二分查找上界

⭐3.3.1 函数介绍

⭐3.3.2 代码示例

🍓四、复杂度分析

🚩4.1 时间复杂度

🚩4.2 空间复杂度

🍓五、总结

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在数据结构和算法的学习中，需要查找数据时，经常使用到二分查找算法，下面就来详细讲解下二分查找的各种用法。

🍓一、什么是二分查找算法 ？

二分查找算法是在有序序列中查找某一特定元素的查找算法，所谓 “二分”，即：每次查找可以排除一半的元素，所以时间复杂度为 O(log2^n)，因此也被称为折半查找（指的是对半排除元素），对数查找（对数指的时间复杂度中的对数）。

________🐌 我是分割线 🐢________

🍓二、二分查找算法

🚩2.1 普通二分查找 

⭐2.1.1 算法步骤

假设存在长度为 n 的 升序 数组 A[]，查找元素 target 是否存在。

注意：数组降序也是可以的，二分查找一般情况下是升序或降序，符合特定规则的升序和降序也是可以的，比如：两段升序的拼接，这里以升序为例进行讲解。

（0）首先，初始化 left = 0, right = n，表示查找的区间为 [ left，right)，最开始时，查找的区间为 [0, n)；

（1）计算 left 和 right 的中间节点，中间节点的下标为 mid = (left + right) /2 。

（2）然后，判断 target 与 中间节点值 A[ mid ] 的大小；

（3）如果 target = A[ mid ] ，说明在数组 A 中找到了元素 target，结束查询；

（4）如果 target < A [ mid ] ，说明，target 并不在数组 A 的区间 [mid, right) 中，因为数组 A 是升序数组，所以 target 应该在区间 [left，mid) 中，所以 left 值不变，让 right = mid；

（5）否则，target > A[ mid ]，说明，target 在区间 [ mid + 1，right) 中，同样，是因为数组 A 是升序数组，所以 right 的值不变，让 left = mid + 1；

（6）重复步骤 （1）~（5），直到查找到 target 或 left >= right 为止，如果出现 left >= right（这时区间为空，没有元素了），则表示数组 A 中没有找到 target 。

⭐2.1.2 动图演示

来看一下动图演示，假设升序数组 A[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}，查找 target = 1，如下所示：

 在上述动图中，一共查找了三次，第三次 mid = 0，便查找到了 target = 1，具体查找步骤如下所示：

（1）、最开始查找范围为 [0, 7)，left = 0, right = 7, 计算 mid = 3；

（2）、缩小查找范围为 left = 0, right = 3，查找范围为 [ 0, 3)，重新计算 mid = 1；

（3）、再次缩小查找范围 left = 0, right = 1，查找范围为 [0, 1)，重新计算 mid = 0；

（4）、A[ mid = 0 ] = 1 ，查找到 target。

上述就是二分查找数组 A 中 1 的过程。

⭐2.1.3 代码实现

在计算 mid 的时候，可以使用如下方式：

mid = left + (right - left) / 2

能够方式 left + right 的溢出。 

🚩2.2 二分查找下界

⭐2.2.1 算法步骤

假设存在长度为 n 的 升序 数组 A[]，数组中存在重复的元素，要查找元素 target 的最小下标。如下所示：

（0）首先，初始化 left = 0, right = n，表示查找的区间为 [ left，right)，最开始时，查找的区间为 [0, n)；

（1）计算 left 和 right 的中间节点，中间节点的下标为 mid = (left + right) /2 。

（2）然后，判断 target 与 中间节点值 A[ mid ] 的大小；

（3）如果 A[ mid ] >= target，因为查找的是下界，所以 target 在区间 [ left, mid) 区间还可能存在，所以进一步缩小空间，将查找区间缩小为 [left, mid)，所以 left 值不变，让 right = mid；

（4）否则，A[ mid ] < target，说明 target 在区间 [ mid + 1，right) 中，因为数组 A 是升序数组，所以 right 的值不变，让 left = mid + 1；

（5）重复步骤 （1）~（4），直到跳出 while 循环；

（6）如果 right 等于 n 或 A [ right ] != target ，则表示未查找到 target，否则 A[ right ]  = target，right 为数组 A 中值为 target 的最小下标；

⭐2.2.2 动图演示

来看一下动图演示，假设升序数组 A[] = {1, 3, 3, 3, 9, 11, 13}，查找 target = 3，如下所示：

 在上述动图中，一共查找了三次，第三次 mid = 0 结束查找（代码中是 left == right 跳出 while 循环）right 指向的值等于 target，具体查找步骤如下所示：

（1）、最开始查找范围为 [0, 7)，left = 0, right = 7, 计算 mid = 3；

（2）、因为[0, 3) 中可能还存在 target，缩小查找范围为 left = 0, right = 3，新查找范围为 [ 0, 3)，重新计算 mid = 1；

（3）、因为[0, 1) 中可能还存在 target，再次缩小查找范围 left = 0, right = 1，新查找范围为 [0, 1)，重新计算 mid = 0；

（4）、left 重新计算后，left == right，结束查找，right 指向的值等于 target。

上述就是二分查找数组 A 中 3 的最小下标的过程。

⭐2.2.3 代码实现

注意：需要判断 right 是否是指向 target，因为查找数组中可能就不存在 target。 

🚩2.3 二分查找上界

⭐2.2.1 算法步骤

假设存在长度为 n 的 升序 数组 A[]，数组中存在重复的元素，要查找元素 target 的最大下标。如下所示：

（0）首先，初始化 left = 0, right = n，表示查找的区间为 [ left，right)，最开始时，查找的区间为 [0, n)；

（1）计算 left 和 right 的中间节点，中间节点的下标为 mid = (left + right) /2 。

（2）然后，判断 target 与 中间节点值 A[ mid ] 的大小；

（3）如果 A[mid] > target，所以 target 在区间 [ left，mid) 中，所以缩小空间，将查找区间缩小为 [left, mid)，所以 left 值不变，让 right = mid；

（4）否则，A[ mid ] <= target，说明 target 在区间 [ mid + 1，right) 中还可能存在，因为数组 A 是升序数组，所以 right 的值不变，让 left = mid + 1；

（5）重复步骤 （1）~（4），直到跳出 while 循环，left --，因为 left 指向的永远是比 target 大的值的下标；

（6）如果新的 left  等于 n 或 A [ left ] != target ，则表示未查找到 target，否则 A[ left ]  = target，right 为数组 A 中值为 target 的最小下标；

⭐2.2.2 动图演示

来看一下动图演示，假设升序数组 A[] = {1, 3, 3, 3, 9, 11, 13}，查找 target = 3，如下所示：

在上述动图中，一共查找了三次，第三次 mid = 4 结束查找（代码中是 left == right 跳出 while 循环）left - 1 指向的值等于 target，具体查找步骤如下所示：

（1）、最开始查找范围为 [0, 7)，left = 0, right = 7, 计算 mid = 3；

（2）、因为[4, 7) 中可能还存在 target，缩小查找范围为 left = 4, right = 7，新查找范围为 [ 4, 7)，重新计算 mid = 5；

（3）、因为[4, 5) 中可能还存在 target，再次缩小查找范围 left = 4, right = 5，新查找范围为 [4, 5)，重新计算 mid = 4；

（4）、left 重新计算后，left == right，结束查找，left - 1 指向的值等于 target。

上述就是二分查找数组 A 中 3 的最大下标的过程。

⭐2.2.3 代码实现

这里需要注意，left 是查找值更大值的下标，所以让 left --，还需要判断一下 left 所指向的值是否是 target，因为可能在查找数组中就不存在 target。 

________🐌 我是分割线 🐢________

🍓三、STL 中的二分查找函数

🚩3.0 头文件

使用 STL 中的二分查找函数，需要引入如下头文件：

#include <algorithm>

🚩3.1 普通二分查找

⭐3.1.1 函数介绍

函数如下所示：

binary_search(A, A + n, target)

binary_search : 函数名；

A : 查找的数组；

n : 数组 A 的长度； 

target : 查找的目标值

⭐3.1.2 代码示例

上述代码中，查找数组 A 中是否存在 9，输出结果为 1。 

🚩3.2 二分查找下界

⭐3.2.1 函数介绍

函数如下所示：

lower_bound(A, A + n, 3) 

lower_bound : 函数名；

A : 查找的数组；

n : 数组 A 的长度； 

target : 查找的目标值；

注意：函数 lower_bound 返回的是数组目标值最小下标的地址，想要计算下标，需要减去数组 A 的首地址。

⭐3.2.2 代码示例

 如上所示，计算下标值需要减去数组 A 的首地址，输出为 1。

🚩3.3 二分查找上界

⭐3.3.1 函数介绍

函数如下所示：

upper_bound(A, A + n, 3) 

lower_bound : 函数名；

A : 查找的数组；

n : 数组 A 的长度； 

target : 查找的目标值；

注意：函数 upper_bound 返回的是数组目标值第一个大于目标值的地址，想要计算下标，需要减去数组 A 的首地址。

⭐3.3.2 代码示例

注意：上述返回的是大于目标值的第一个元素的下标，输出为 4。 

________🐌 我是分割线 🐢________

🍓四、复杂度分析

🚩4.1 时间复杂度

每次查找都是排除一半的情况（缩减一半），相当于每次都除以 2，假设长度为 n，查找次数为 x，则 2^x <= n ，x 约等于 log2^n，所以时间复杂度为 O(log2^n)。

🚩4.2 空间复杂度

通常二分查找并不需要额外的辅助空间，所以空间复杂度为 O(1)。

________🐌 我是分割线 🐢________

🍓五、总结

最长使用的还是普通的二分查找算法，特殊情况会查找上界或下界，当然，可以使用 STL 中的库函数。

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