规范理论的重整化 (下)

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规范理论的重整化 (下)

- 作者：Gerard 't Hooft    译者：卢昌海 -

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3. 驯服无穷大

在 1970 年的时候， 我意识到曾被 Feynman 及 Veltman 用过的 Glashow 模型， 即 (2.5) 式， 在远紫外区有着严重的困难， 而 Higgs 模型在这方面要优越得多。 Veltman - 我当时的导师 - 却不同意我的看法。 最终我们达成的一致意见是以下面这些作为我的研究课题：

1. 到底该如何对无质量纯 Yang-Mills 体系中的振幅进行重整？ 计算法则是什么？ 当然这将在微扰论的框架中进行。
2. 如何将这一切与质量项匹配起来？ 我知道那将是 Higgs 理论。

这其中的第一步并不容易。 如何减除无穷大？ 如何计算高阶修正而又不破坏定域规范不变性？ 在一个规范必须被规范条件所固定的理论中该如何表示定域规范不变性？ 我们希望最终的结果能具有象 QED， λφ4-理论， 以及 σ-模型那样明确的定义。

L. D. Faddeev 与 V. N. Popov 对规范理论的泛函积分作了漂亮的研究， 他们得到的泛函积分为：

∫DAμ Δ exp[i∫LYMd4x Πxδ(∂μAμ(x))]

(3.1)

其中最后的 Dirac δ 是规范固定项 (gauge-fixing term)， Δ 是一个为保持上述表达式与规范固定无关所必不可少的行列式。 这个行列式是一个 Jacobi 行列式， 具有明确的计算法则。 这些法则与 Feynman 鬼场的法则类似。 矢量粒子的传播子必须是横向 (transverse) 的：

(δμν-kμkν/k2) / (k2-iε)

(3.2)

不过 S. Mandelstam 也发表过一篇文章， 他推导出的 Feynman 传播子为：

δμν / (k2-iε)

(3.3)

Feynman 则认为无质量理论应视为是有质量理论的极限， 后者的传播子为：

(δμν+kμkν/M2) / (k2-iε)

(3.4)

他声称在 M→0 的极限下， kμkν 项可以去除， 它会被鬼场的效应所取代。 Feynman 的鬼场法则与 Mandelstam 及 L. D. Faddeev 与 V. N. Popov 的并不完全等同[注一]。

我注意到 Faddeev-Popov 行列式可以被改写成 Gauss 型泛函积分， 从而可以被视为是对应于鬼场的贡献 [译者注： 下式中的两处 det M 似应同为 det M 或同为 (det M)-1 才能与 (3.6) 式相一致， 从下文特意提到 “式中的 -1 解释了鬼场的反常符号” 来看， 似应同为 (det M)-1。]：

Δ = det M;      C·(det M)-1 = ∫DφDφ* e-φ*Mφ

(3.5)

式中的 -1 解释了鬼场的反常符号。 接下来可以推广 Faddeev-Popov 方法， 将规范固定项换成 δ(∂μAμ(x)-f(x))， 然后对 f(x) 的任意 Gauss 项进行积分 [译者注： 下式中的 Δ 似应去除]：

∫DADφDφ*Df Δ exp[i∫(LYM-φ*Mφ-(1/2)αf2) Πxδ(∂μAμ-f(x))]

(3.6)

这给出了 Lagrangian 中一个很方便的附加项 -(1/2)α(∂μAμ)2。 这使传播子变成带任意参数 λ 的：

(δμν-λkμkν/k2) / (k2-iε)

(3.7)

由此可以看到 Mandelstam 的法则会给出与 Faddeev 和 V. N. Popov 一样的振幅。

在量子电动力学中规范不变性体现在 Ward 恒等式中， 那么 Yang-Mills 理论中的 Ward 恒等式是怎样的呢？ 我们从量子电动力学的 Ward 恒等式中找出了具有基础地位的 Feynman 图的组合性质。 这些性质可以加以推广， 用来理解 Yang-Mills 理论中相应的恒等式。 这需要极高的技巧， 因为我们无法找到用以推导这些结果的全局对称性[注二]。 这其中一个关键的性质是规范群必须是完整的， 即规范群的生成元必须满足 Jacobi 恒等式。 用图来表示， 必须有：

这是为证明减除方法的幺正性所需要的。 在恒等式

SS† = I

(3.8)

中的中间态会被包括下图在内的鬼场贡献所抵消

我们接着证明了这些恒等式正是为完全而无歧义地确定所有重整化抵消项所需要的。 不过这其中还有一个问题。 我们知道在手征理论中可能会出现反常。 不同的恒等式会要求对抵消项中的有限部分作出不同的选择， 这种选择会彼此冲突。 这种冲突会出现在规范理论中吗？ 经过详尽的寻觅， 一种规范不变， 从而使恒等式自动得到满足的正规化手段被找到了。 我们的做法很简单， 那就是在 Minkowski 空间中引进第五维， 并且把所有圈图中那一维度上的动量选为一个固定值 Λ。 这解决了问题， 但只适用于单圈图。 我们还必须证明多圈图中结果的唯一性。 我们当时所用的五维方法后来成为了一种更普遍， 并解决了多圈图问题的维数正规化方法的前身。

我非常急切地想推进到下一步： 添加质量项。 这已变得不再困难， 因为完全的规范不变性是绝对必需的， 因此象 Glashow 模型那样添加质量项是不允许的， 但 Higgs 机制则完全可以。 把我们的方法推广到包括 Higgs 机制并不困难。 与前面一样， 幺正性及所有其它必需的性质都可以用微扰的方式确立。

在那个时候出现了两篇文章： J. Taylor 与 A. A. Slavnov 各自独立地注意到我的恒等式可以被推广到质壳外的振幅 (off-mass shell amplitude)。 在我的早期方法中， 我决定避免这种推广， 因为那将使得引进新的抵消项成为必须， 从而导致复杂性。 然而正是这些质壳外的恒等式可以用 BRS 对称性来诠释， 因此对确立可重整性来说至关重要的振幅间的关系式在现在的文献中被称为了 “Slavnov-Taylor 恒等式”。

我们还必须研究抵消项中的有限部分是否会在多圈图层次上受到反常的破坏。 在 Minkowski 空间中添加第六或第七维未能带来无歧义的答案[注三]。 最终， 与 M. Veltman 一起， 我们提出了一种正确的方法， 现在被称为 “维数正规化与重整化”。 理论必须在 4-ε 维中进行处理。 在物理上， 非整数维是无意义的， 但在微扰展开中， 由 Feynman 图所产生的振幅有唯一的定义。 对数发散立刻就消失了， 线性及平方发散仍存在， 但如果 ε≠0 它们可以通过分部积分技巧无歧义地被减除。 剩下的就只是复 ε 平面上的有限阶极点了。 这些极点可以通过规范不变的抵消项从物理振幅中去除 (场量重整化也许需要非规范不变的减除， 但场量在这种方案中不是直接可观测的量)。

维数正规化不仅对于形式证明有用， 而且还是计算重整化多圈图的非常现实的工具。 我们第一次有了一个理论， 在其中弱相互作用的高阶修正是有限并且可以被计算的。 但当时还不清楚究竟哪一个可能的规范模型可以最精确地描述观测到的相互作用。 解决强子问题的一种机制在早先已经由 Glashow， J. Iliopoulos 及 L. Maiani 所提出。 他们引进了一种被称为 “粲夸克” (charm) 的新夸克。 他们的机制能够解释不存在奇异数改变的中性流， 同时保留了奇异数守恒的中性流， 后者在强子区与轻子区都已经被精彩的实验所检测到。

4. 标度律

由于规范理论在唯象领域的成功， 许多物理学家放弃了原先对可重整场论的反对。 但是与标度律有关的问题依然存在。 1970 年， C. G. Callan 与 K. Symanzik 彼此独立地从经过重整化群效应修正的标度律中得到了振幅所满足的方程式。 他们引进了耦合常数 g 的函数 α(g)， β(g)， γ(g)，... ， 其中 β(g) 与第一节中提到的函数扮演同样的角色。 由于他们关注的是所有可重整理论中最为熟悉的原型： QED 与 λφ4， 他们预期这一函数是恒正的。 但是极高能下的非弹性散射实验却显示出近乎单纯的标度性质， 仿佛 β≤0， 并且耦合常数 g 本身也很小 (Bjorken 标度律) [译者注： 那些实验所涉及的并不是 QED 与 λφ4， 因此严格讲与这两者的 β(g) 函数恒正并不矛盾， 只有把 QED 与 λφ4 视为所有可重整量子场论的代表， 才有矛盾]。 对量子场论的反感使得 D. Gross 在 1971 年时猜测没有任何量子场论可以描述 Bjorken 标度律。

那么 Yang-Mills 理论的情况又如何呢？ 人们在各种矢量粒子理论的相关效应中曾得到过不寻常的符号。 1964 年， V. S. Vanyashin 与 M. V. Terentev 做了一些计算， 他们发现有荷矢量玻色子的荷重整化是负的 [译者注： 所谓 “荷重整化是负的” 指的是荷随动量增加而减小， 即 β(g)<0。 在标准模型中弱 SU(2) 与强 SU(3) 的荷重整化是负的 (与 QED 相反)， 这里介绍的正是早年在这方面的研究]。 这一结果被认为是荒谬的， 并被认为是由于理论不可重整所致。 1969 年， Khriplovich 对 Yang-Mills 理论中的荷重整化做了正确的计算， 结果同样得出不寻常的符号， 但这一结果没有与渐进自由联系起来， 他的这一出色的工作被忽略了。

当我研究规范理论的重整化时， 我当然对标度律感到兴趣， 我于 1971 年开始计算。 由于下面这一因素， 计算变得很微妙。 包括鬼场贡献在内的自能修正具有 C(kμkν-k2δμν) 的形式， 预示着

C (∂μAν - ∂νAμ)2

(4.1)

形式的抵消项。 三顶点修正则对顶点产生一个标度修正

C' fabc ∂μAνa [Aμb, Aνc]

(4.2)

但是 C 与 C' 并不匹配， 从而不能合并成形如 FaμνFaμν 的规范不变项。 这是因为场量重整化不是规范不变的。 但是从这些计算中可以得到正确的标度行为。 不管怎么说， 符号是确定无疑的[注四]。

在那个时侯， 没有 Veltman 的准许我很难发表任何东西。 而对于这个课题， 他完全不感兴趣。 当我告诉他我有关纯规范场与夸克相耦合的想法时， 他明确表示， 如果我有任何有关强相互作用的理论， 就必须解释为什么自由夸克从未被观测到。 而这当时我还无法解释， 但是我打算找出原因。 在找到有关夸克囚禁 (confinement) 的好思路之前， 没有任何东西值得发表 。。。 [译者注： 从上下文看， 最后这句应该是当时 Veltman 的观点。 Veltman 与 't Hooft 这对师生后来闹翻了， 在本节中可以明显看到 't Hooft 流露出对 Veltman 的不满。 't Hooft 当时未能发表的研究稍后被另外三位物理学家所做出， 后者因此而获得 Nobel 奖 (见下文)， 不过那是在 't Hooft 写作本文之后的事。]

在这一领域中活跃着如此众多的专家， 我曾以为他们很可能多多少少已经知道 Yang-Mills 理论的标度行为。 我不明白为什么在讨论 Bjorken 标度律时量子场论被整体性地排除在外。 但是 1972 年六月在 Marseille 的一次小会议上我与 Symanzik 讨论了他的带负 λ 的 λφ4 理论。 他曾希望用这种方法来解释 Bjorken 标度律。 当我告诉他规范理论是一个好得多的选择， 因为我已经发现了它们的标度律时， 他明确表示不相信。 但是当他在会议上介绍完他的理论后， 他给了我一个机会公开宣布这样一个结果： 如果对一个包含矢量、 旋量及标量粒子的规范理论作标度变换， 则规范耦合常数满足下述标度律：

μdg2/dμ = (g4/8π2) (-11C1/3 + 2C2/3 + C3/6)

(4.3)

其中 C1 是规范群的正 Casimir 常数， C2 是与费米子有关的正系数， C3 - 也是正的 - 则与标量粒子有关。 Symanzik 鼓励我尽快发表这一结果， 因为它将是新的。 我现在很后悔没有采纳他的明智建议， 而继续与 Veltman 研究量子引力中的发散。

很明显， (4.3) 式所给出的标度律与维数重整化所要求的抵消项密切相关。 但这种关联绝非容易， 其细节直到 1973 年才被计算出。 除此之外， 一种运用背景场方法 - 从而可以从规范不变性中直接推出规范不变的抵消项 - 的计算方法出现了。 这极大地简化了 (4.3) 式的推导。 在那个时侯， H. D. Politzer， D. Gross 与 F. Wilczek 的论文出现了。 [译者注： 那篇论文使 H. D. Politzer， D. Gross 与 F. Wilczek 获得了 2004 年的 Nobel 物理学奖。]

1. 我后来得知， L. D. Faddeev 与 V. N. Popov 当时就已知道产生这一差异的原因。
2. 与此有关的全局对称性现在被称为 BRS 对称性， 但这一对称性含有反对易生成元， 那时我们还不知道如何使用。 在这一对称性中 Jocobi 恒等式也很关键。
3. 有一部俄国学者的著作使用了这种高维正规化方法， 但其证明是错误的。
4. 我在 1971 年有关 Higgs 理论重整化步骤的论文中清楚地表述了这一符号。 在那篇文章中， 我对自己有关那些理论的工作作了这样的陈述 (其中提到我的前一篇文章)： “至此， 我们有关重整化步骤的描述是自洽的， 因此无质量 Yang-Mills 场的紫外问题已经解决了。 一个复杂得多的问题来自于体系中的红外发散。 [...] 那里的灾难在于微扰展开在红外区域失效了， 因此我们没有任何严格的场论来描述所产生的现象”。 “场论” 在当时一直是指微扰场论。

二零零五年五月十五日译于纽约
二零零五年五月十五日发表于本站
https://www.changhai.org/

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