阿基米德的传说

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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 7 期 (科学出版社出版)， 发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明， 但不含注释， 且因字数所限， 有轻微删略。

阿基米德的传说

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

古希腊的天空可谓星光璀璨。 欧几里得这颗巨星尚未沉入地平线， 另一颗巨星已从天幕升起， 那就是阿基米德 (Archimedes)。

如果说欧几里得的光芒主要是在纯数学， 那么阿基米德则是纯数学和实用领域的双料巨星。 不过， 据罗马时代的希腊作家普鲁塔克 (Plutarch) 记叙， 阿基米德对他声望所系的这两个领域有完全不同的评价， 他以纯粹学问为上乘， 而视实用知识为末流， 他对后者的涉猎乃是出自叙拉古国王 (King of Syracuse) 希罗二世 (Hiero II) 的劝说。 这一记叙的可靠性不得而知， 但阿基米德流传于世的著作似乎在一定程度上呼应了这一记叙， 那些著作多为理论著作 (虽然某些理论与实用仅一步之遥)， 从而或许可理解为阿基米德不认为他的实用知识值得著述。

也因此， 阿基米德在实用领域的造诣虽举世公认， 许多具体事迹却因没有第一手文献的支持而停留在传说层面， 而传说难免夸张， 一较真便往往陷入困境。 当然， 有关阿基米德的传说并不限于实用领域， 那些传说也同样带着夸张。

在本文中， 我们来介绍几则阿基米德的传说。

这些传说中， 最著名的大约要算 “我发现了” (Eureka) 的传说。 在这个传说中， 前面提到过的那位叙拉古国王让工匠打造了一顶纯金王冠， 那王冠与国王提供给工匠的金子等重， 但国王怀疑工匠通过往王冠里掺银的办法贪污了一部分金子， 便让阿基米德检验。 阿基米德苦苦思索， 终于在某次洗澡时想到了通过浮力来测定王冠比重， 于是欣喜若狂地 “裸奔” (这在当时没有现在这么惊世骇俗) 到街上， 大声喊道： “我发现了！ 我发现了！”[注一]

这个传说在阿基米德流传于世的著作中并无佐证， 目前所知最早的出处是罗马工程师维特鲁威 (Vitruvius) 的《建筑十书》 (De Architectura)， 与故事本身的时间相比， 晚了两百多年。 在维特鲁威的记述中， 阿基米德检验王冠是否掺银的办法是将它与等重的金子分别浸入装满水的大容器里， 看两者造成的水的溢出数量是否相等。

这个传说为阿基米德的生平增色不少， 真实性却引起了不少怀疑。 怀疑者中包括了科学巨匠伽利略 (Galilei)。 在 22 岁那年 (1586 年) 出版的 “处女作” 《小天平》 (The Little Balance) 中， 伽利略表示， 通过测量王冠与等重的金子浸入水中产生的水位变化或水的溢出数量是否相等来检验王冠是否掺银是 “完全错误的并且达不到所需的那种精度”。

我们可以用简单的计算来印证伽利略的说法。 不过在计算之前， 有一点先要澄清， 那就是这个传说中的所谓王冠来自希腊文的 στέφανος， 其实只是一种环状的装饰物， 或曰花冠 (wreath)。 它比普通的王冠 (crown) 轻得多。 在目前已知的阿基米德时代的文物中， 此类装饰物的最大直径约为 18.5 厘米， 质量约为 714 克。 哪怕夸张一点， 将质量当成 1,000 克， 纯金情形下的体积也只有约 51.8 立方厘米 (因为金的比重约为每立方厘米 19.3 克)， 假如工匠将其中的 200 克金替换成银， 体积将增加至 60.5 立方厘米左右 (因为银的比重约为每立方厘米 10.5 克)， 也就是增加 8.7 立方厘米左右。 另一方面， 考虑到花冠的尺寸， 能浸没它的容器的直径约需 20 厘米， 8.7 立方厘米的体积变化在这种大小的容器中对应的水位变化不到 0.3 毫米。 这么小的水位变化用肉眼是很难分辨的， 且极易被表面张力造成水面边缘弯曲所掩盖。 测量水的溢出数量是否相等也同样困难， 因为溢出的水不易集全， 同时又没有量筒一类的现代工具。

当然， 所谓可疑只是针对传说中的办法， 不等于无法用其他办法做到。 事实上， 伽利略在《小天平》一书中就提出了一种可行的办法， 感兴趣的读者请从《小天平》这个书名出发猜测一下他的办法[注二]。 只不过， 阿基米德究竟有没有用过那些可行的办法， 就不得而知了， 但起码是未被迄今所知的史料记述过。

有关阿基米德的另一项著名传说， 是所谓的阿基米德 “热线” (heat ray)。 在这一传说中， 阿基米德帮助自己居住的希腊城邦叙拉古 (Syracuse) 抵御罗马人的进攻。 那是阿基米德在世的最后时光 (他于城邦沦陷时被罗马士兵杀死)， 在那期间据说他用各种自创或改良的奇妙手段重创了罗马人。 这些手段中最脍炙人口的乃是以汇聚阳光的方式发动火攻。 据公元 2 世纪的作家琉善 (Lucian) 记叙， 阿基米德以火攻的方式摧毁过很多罗马人的战船。 但直到公元 6 世纪， 希腊几何学家兼建筑师安提莫斯 (Anthemius) 才明确给出了以汇聚阳光的方式发动火攻的版本， 宣称阿基米德是通过用镜子将阳光汇聚到罗马战船上的办法实施火攻的， 这便是所谓的阿基米德 “热线”。

有关阿基米德 “热线” 的传说无论在阿基米德流传于世的著作里， 还是在比琉善更早的诸如普鲁塔克等人有关阿基米德的生平记述中， 都毫无佐证， 因而也引起了怀疑。 比如著名哲学家勒内·笛卡尔 (René Descartes) 基于一些晦涩的思辩， 认为那是不可能的。 为了检验阿基米德 “热线” 究竟有没有可能， 一些人展开了实验。 考虑到阿基米德时代应不具备制作大型凹面镜的技术， 实验普遍采用了平面镜， 结果则莫衷一是。 当然， 单从理论上讲， 用平面镜汇聚光线， 使木制的战船燃烧是完全可能的， 问题的要害在于是否有现实可行性。

在人们做过的实验中， 最早的一个是法国科学家蒲丰 (Comte de Buffon) 于 1747 年完成的。 蒲丰宣称用高 8 英寸 (约合 20 厘米) 宽 6 英寸 (约合 15 厘米) 的数量不等 (从数十到一两百) 的镜子汇聚阳光， 点燃了距离从 20 英尺 (约合 6 米) 到 250 英尺 (约合 76 米) 之间的各种可燃物。 蒲丰用的是阿基米德时代不存在的玻璃镜子， 但他表示 “我用玻璃镜子做到的， 毫无疑问阿基米德能用金属镜子做到。”

蒲丰的实验是两百多年前的事了， 且除他本人的记叙外似无独立旁证， 从而不足以平息怀疑， 也不足以终结进一步的实验。 1973 年， 希腊科学家艾欧尼斯·萨卡斯 (Ioannis Sakkas) 用 70 面高 5 英尺 (约 1.5 米) 宽 3 英尺 (约 1 米) 的镀铜镜子汇聚阳光， 据称在数秒之内就点燃了 160 英尺 (约合 50 米) 外的一艘表面涂了易燃油漆的木船。

更晚近些， 2005 年，美国麻省理工学院 (MIT) 的一群学生尝试了类似的实验， 并拍摄了录像。 他们用 127 面边长 1 英尺 (约 30 厘米) 的现代镜子， 点燃了 100 英尺 (约 30 米) 外的木船。 但跟前述实验不甚一致的是， 该次实验在晴朗无云， 木船完全不动的条件下， 仍用了 10 分钟左右才点燃了木船， 且只是小火苗。

而迄今最新的一次公开尝试则是 2010 年， 一档名为 “流言终结者” (MythBusters) 的电视节目报道了由 500 名中学生参与的实验， 实验者分别用了铜镜和现代镜子， 高和宽皆为数尺， 结果是铜镜在 15 分钟内仅仅使 400 英尺 (约 120 米) 外的模拟船只帆上的目标区域温度升高至 55 摄氏度； 现代镜子好很多， 但也只升高至 95 摄氏度。 甚至将目标移近到 100 英尺 (约 30 米)， 温度也只达到了 140 摄氏度， 离帆的燃点相差很远。

这些实验的结果彼此相异， 但有录像为证的两次晚近实验都不甚乐观， 要么无法点燃目标， 要么虽能点燃， 却需敌我双方配合不动， 使同一区域被持续照射 10 来分钟这一实战中不可能满足的条件， 以及现代镜子这一阿基米德时代不存在的东西， 且造成的只是容易扑灭的小火苗。 从这些结果看， 有关阿基米德 “热线” 的传说是高度可疑的。 更何况， 这种须动用大量人力， 从而相当壮观的 “土制激光” 若果真实现过， 几乎不可能在安提莫斯之前七百多年的时间里不被提及， 甚至也不至于缺席阿基米德之后的世界战争史。

以上是两则实用领域的传说， 为使本文更有代表性， 下面介绍一则纯数学方面的传说。 大家也许以为， 有关阿基米德的传说都是历史悠久的， 下面这则传说起码就其发现而言却是例外。 这则传说出自 1773 年发现的一份希腊文手稿， 手稿中的一首诗被认为是阿基米德写给同时代数学家的。 这首诗包含了一个数学问题， 被称为阿基米德群牛问题 (Archimedes' Cattle Problem)。 该问题由两个子问题组成， 所求的是四种不同颜色 (花色) 的公牛和母牛 (即总计八种牛) 的数目。 限于篇幅， 我们不重复问题的表述了， 简言之， 该问题可归结为由七个方程组成的八元一次方程组， 这种方程组有无穷多组解， 其中第一个子问题的最小的解对应的牛的总数为 50,389,082， 第二个子问题更令人瞠目， 最小的解对应的牛的总数约为 7.76 × 10206544， 单把答案写下来就足以成为一本书！

由于涉及的数字如此巨大， 阿基米德群牛问题直到 1880 年——即比发现年份晚了 100 多年——才被解决， 而将第二个子问题的最小的解具体写出来则是在电脑时代才办到的， 比发现年份晚了近 200 年。 那个解甚至被用来检验早期的巨型计算机克雷-1 (Cray 1) 的计算能力。

阿基米德在诗中针对第一个子问题写道 (大意)： “哦， 朋友， 如果你能求出每一种公牛和母牛的数目， 那你就不算是数学的新手， 但也还不能算是高手。” 什么是高手呢？ 阿基米德拿出了第二个子问题， “哦， 朋友， 如果你把这些也算出…… 那就可以欢呼了， 因为你证明了自己有最高的数学技能。” 这种挑战的笔法似乎意味着阿基米德自己能解决该问题， 或起码能判定其有解。 不过虽然阿基米德无疑 “有最高的数学技能”， 若说他能解决第二个子问题或判定其有解， 恐怕仍是言过其实了。 事实上， 有研究者认为， 哪怕阿基米德群牛问题真是出自阿基米德， 那首诗也不太可能是他的手笔。

有关阿基米德的传说就介绍到这里。 虽然这篇介绍侧重于怀疑， 但所有怀疑都撼动不了一个基本判断， 那就是阿基米德是古希腊最伟大的科学家之一， 也是科学史上屈指可数的巨匠之一。

因为阿基米德的科学地位不是靠传说确立， 而是有扎实的史料背景的。

1. 这个传说的结局是阿基米德证实了国王的怀疑——即证实了王冠中确实掺了银。
2. 伽利略并不是最早为这一传说设想可行手段的人， 比他更早， 意大利学者吉安巴蒂斯塔·德拉·波尔塔 (Giambattista della Porta) 也提出了类似的办法。 他们的办法本质上都是利用质量相等而体积不等的平衡在浸入水中后会因浮力不同而被破坏这一特点。

1. D. Brewster, A Treatise on Optics (1831).
2. E. J. Dijksterhuis, Archimedes (Princeton University Press, 1987).
3. A. W. Hirshfeld, Eureka Man: The Life and Legacy of Archimedes (Walker & Company, 2009).
4. W. E. K. Middleton, Archimedes, Kircher, Buffon, and the Burning-Mirrors, Isis, vol. 52, No. 4 (Dec. 1961), pp. 533-543.
5. G. Sarton, Hellenistic Science & Culture in the Last Three Centuries B.C. (Dover Publications, 1959).

2019 年  5 月 22 日完稿
2019 年  8 月  9 日发布
https://www.changhai.org/

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