【小实验】有偏分布下的均值、中位数、众数之间的关系.

问题引入

在《统计数字会撒谎》里，有这样一个案例：

我相信你不是一个势利小人，而我也并不做房地产生意。但请让我们作这样的假定，并且假设，此刻你正在一条我所住的加利福尼亚山谷不远处寻找想买的房子。对你的情况进行了初步判断后，我巧舌如簧、费尽心思地让你相信附近居民的平均年收入大约有15000美元。也许这坚定了你要在此居住的信心，不管怎样，买卖最终成交了，那美妙的数字也被牢记在你的脑海。而且，既然你已经买下了房子–你有那么一点势利，当与朋友聊天时，你就会不经意地流露出你居住的地点：我住在一个相当棒的高收入小区。
一年左右过后，我们又见面了。作为某纳税者委员会的成员，我正在四处奔走，为降低税率、降低财产估价，或降低公共交通费用而呼吁。我的理由很简单，我们支付不起各种上涨的费用，毕竟，附近居民的平均年收入只有3500美元。也许你会加入到我们委员会的工作中来–你不仅势利，而且还挺吝啬。但是，当听到那可怜的2000英镑时，你也禁不住大吃一惊。到底是我现在撒谎了呢？还是一年前撒了谎？
其实这两次你都无法怪罪于我，利用统计撒谎的妙处被展现得淋漓尽致。无论是15000美元，还是3500美元，它们都是合法的平均数，计算方法也完全正确。两个数字都基于相同的数据，来自相同的居民，根据相同的收入。所有都是相同的，但显然其中有一个数据令人误解，足以与弥天大谎相媲美。
我的花招就是两次分别使用了不同的平均数“平均数”这个词宽泛的涵义帮了大忙。当一个家伙希望用数据影响公众观点，或者向其他人推销广告版面，平均数便是一个经常被使用的伎俩。

问题分析

众所周知，统计学里有这样一个简单的结论：

如果一个分布的 偏度(skewness) 为负(换句话说，服从右偏分布)，那么大概有这么一个规律：

(均值)mean<(中位数)median<(众数)mode

相反，如果一个分布的偏度为正，那么大概有这么个规律:

mean>median>mode.

理解这个结论不需要任何数学基础，例如，收入的分布是一个左偏分布，穷人永远是大多数（众数是一个很低的数字），中产阶级收入高一些(中位数比众数更大)，被富人平均之后，大家收入看起来很可观（均值最大）

如果只是介绍这个结论，这篇文章就太无聊了。本着万事万物皆可用算法重现的中二思想，下面写一段简单程序模拟上述结论：

x1=100*random('norm',1,1,8000,1);
x2=100*random('norm',5,1,4000,1);
x1=round(x1);
x2=round(x2);

上述代码生成了8000个穷人和4000个富人，并且假设穷人的收入均值为1，标准差为1；富人收入均值为5，标准差为1。为了使众数有意义，用round函数进行了离散化处理。

把穷人和富人放到一起:

x=[x1;x2];

做概率密度估计:

subplot(2,2,1)
ksdensity(x1)
subplot(2,2,2)
ksdensity(x2)
subplot(2,1,2)
ksdensity(x)

这里插一句，在做可视化时，很多情况下，ksdensity（概率密度估计图）比hist（分布直方图）、histfit（加入正态拟合的分布直方图）更加简洁明了，效果比较如下：

*(hist\histfit\ksdensity)*

最后是描述性统计量：

fprintf('均值是%3f\n',mean(x));
fprintf('中位数是%3f\n',median(x));
fprintf('众数是%3f\n',mode(x));
fprintf('偏度是%3f\n',skewness(x));

程序输出与结论分析：

*穷人+富人*

均值是232.538583
中位数是165.000000
众数是98.000000
偏度是0.505472

结论很显著。

有人调侃自己“被平均了”，还是有统计学依据的。