【Kalman】卡尔曼滤波

什么是卡尔曼滤波？

你想对某一组指标进行预测，现在已经有两组不是很准的方案：

1. 你已经有了预测方程，进而可以预测均值和方差（假设这一组指标）
2. 测量某些指标，从而推断你的指标

这种情况非常适合Kalman滤波 卡尔曼滤波的的优点如下：

1. 可以有效利用多个粗糙数据之间的关系，而单独面对这些数据你可能都无从下手。
2. 卡尔曼滤波尤其适合动态系统。
3. 它对于内存要求极低（它仅需要保留系统上一个状态的数据，空间复杂度O(1)）。它运算很快，这使得它非常适合解决实时问题和应用于嵌入式系统。

step1

1. 预测部分

xk=Axk−1+Buk−1+wk−1xk=Axk−1+Buk−1+wk−1
其中，
xk−1xk−1是一个多维正态分布，代表系统状态
uk−1uk−1是对系统的控制量，
ww是多维正态分布，是系统噪声

如果仅仅使用预测迭代式进行迭代，预测误差会越来越大，最终没有意义。

2. 测量部分

zk=Hxk+vkzk=Hxk+vk

step2

这一步，分别使用以上两种模型去求随机变量zkzk

预测部分

在第k-1次迭代中，求得了xk−1∼N(x^k−1,Pk−1)xk−1∼N(x^k−1,Pk−1)，带入预测公式，可以求得:
xk∼N(x^k,Pk)xk∼N(x^k,Pk)
带入zk=Hkxkzk=Hkxk
得到zk∼N(Hkxk,HkPkHTk)zk∼N(Hkxk,HkPkHkT)
（这里有个运算法则：多元正态分布乘以矩阵后，仍是多元正态分布，且均值和方差满足以上公式）

测量部分

zk∼N(z^k,Rk)zk∼N(z^k,Rk)

step3

现在有了两种方案得到的zkzk的分布，我们希望以此得到一个更准确的zkzk分布。
（这一步看到过有贝叶斯法、最小均方差、正态分布乘法法，都是等价的，这里用正态分布乘法进行推导）

N(u0,Σ0)×N(u1,Σ1)=N(u0+k(u1−u0),Σ0−KΣ0)N(u0,Σ0)×N(u1,Σ1)=N(u0+k(u1−u0),Σ0−KΣ0)
其中，K=Σ0(Σ0+Σ1)−1K=Σ0(Σ0+Σ1)−1（定理见于这里）

step2中已经得到：
zk∼N(Hkxk,HkPkHTk)zk∼N(Hkxk,HkPkHkT)
zk∼N(z^k,Rk)zk∼N(z^k,Rk)
如此，便可求出这次迭代中，两个信息都用到的最佳xkxk所对应的zkzk(记录这个最佳xkxk为x′kxk′，它也是下次迭代的输入)

Hkx^′k=Hkx^k+K(z−Hkx^k)Hkx^k′=Hkx^k+K(z−Hkx^k)
HkP′kHTk=HkPkHTk−KHpPkHTkHkPk′HkT=HkPkHkT−KHpPkHkT
其中，K=HkPkHTk(HkPkHTk+Rk)(−1)K=HkPkHkT(HkPkHkT+Rk)(−1)

5个核心公式

时间更新
x^′k=Ax^′k−1+Buk−1x^k′=Ax^k−1′+Buk−1
P′k=APk−1AT+QPk′=APk−1AT+Q
状态更新
Kk=P′kHT(HP′kHT+R)−1Kk=Pk′HT(HPk′HT+R)−1
x^k=x^′k+Kk(yk−Hx^′k)x^k=x^k′+Kk(yk−Hx^k′)
Pk=(I−KkH)P′kPk=(I−KkH)Pk′

参考资料

如何通俗并尽可能详细解释卡尔曼滤波？ - 米开朗基罗赵的回答 - 知乎 Understanding the Basis of the Kalman Filter Via a Simple and Intuitive Derivation
最后再提一句，有资料说，Kalman与HMM有一定的深刻联系，只不过HMM的隐变量是离散的。