第五公设的早期探索 (下)

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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 5 期 (科学出版社出版)， 发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明， 但不含注释， 且因字数所限， 有轻微删略。

第五公设的早期探索 (下)

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

<< 接上篇

让我们从普罗克洛斯开始介绍第五公设的 “证明”。 普罗克洛斯在我们这个科学史随笔系列中已多次出场， 他被认为是最后一位古典哲学家， 在他之后是漫长的中世纪。 普罗克洛斯一生著述颇丰， 其中包括了对《几何原本》第 1 卷的评注。 由于包括欧几里得在内的古希腊数学家的手稿多已不存， 评注的重要性得到了极大的提升， 普罗克洛斯的评注作为其中的佼佼者， 是研究古希腊数学史不可或缺的资料。

关于第五公设， 普罗克洛斯在评注中除给出自己的 “证明” 外， 也介绍了前人的 “证明”。

普罗克洛斯所介绍的前人的 “证明” 中， 最早的一个出自一位名叫波希多尼 (Posidonius) 的古希腊 “通才”[注一]。 这也是我们迄今所知试图证明第五公设的最早努力。 不过确切地说， 波希多尼的努力不是通常意义下的证明——后者是用第五公设以外的《几何原本》来证明第五公设， 波希多尼所做的则是引进一个不同的平行线定义。 《几何原本》里的平行线由定义 23 所给出， 指的是同一平面上互不相交的直线， 波希多尼将之换成了处处等距的直线。 利用这一定义， 我们在 上篇 中提到过的第五公设的等价表述之一的 “普莱费尔公理” 就变得显而易见了——这也正是波希多尼的证明思路。 但这一思路有很大的问题， 比如无法证明波希多尼的平行线定义与《几何原本》里的定义相等价[注二]。 而两个定义的等价若无法确立， 则 “普莱费尔公理” 就不再是第五公设的等价表述， 证明前者也就不等于证明第五公设了[注三]。 此外， 波希多尼的平行线定义还假定了与一条直线等距 (且处于同侧) 的点构成另一条直线 (否则连直线的资格都成问题， “平行线” 根本就无从谈起)， 而这些其实都要靠第五公设才能确立的。

普罗克洛斯所介绍的另一个前人的 “证明” 出自公元 2 世纪的著名学者托勒密 (Claudius Ptolemy)。 该 “证明”——按普罗克洛斯的介绍——是这样的：

首先， 托勒密 “证明” 了若两条平行直线与另一条直线相交， 则同侧的内角之和必须等于两直角。 理由是： 若某侧的内角之和小于 (或大于) 两直角， 则考虑到两条平行直线的一侧并不比另一侧更平行， 另一侧的内角之和也必须小于 (或大于) 两直角。 但这是不可能的， 因为这意味着两侧的内角之和加起来小于 (或大于) 四直角。 可两侧的内角之和加起来乃是两个平角， 按定义就等于四直角。 利用这一点， 托勒密就可以 “证明” 第五公设了， 因为假如第五公设不成立， 就必定存在与另一条直线相交的两条直线， 其某侧的内角之和小于两直角， 却任意延长也不会相交。 但这样的两条直线在另一侧更不会相交 (因另一侧的内角之和大于两直角)， 从而——按《几何原本》里的平行线定义——是平行直线。 但既是平行直线， 那么依先前 “证明” 了的命题， 它们与另一条直线相交所得的同侧的内角之和必须等于两直角， 跟第五公设不成立所得出的某侧的内角之和小于两直角相矛盾， 这说明第五公设必须成立。

托勒密的 “证明” 错在哪里呢？ 读者不妨思考一下， 答案——即错误之所在——则用粗体标出了。 普罗克洛斯看出了托勒密的错误， 于是提出了自己的 “证明”。 普罗克洛斯的 “证明” 是这样的：

首先， 他 “证明” 了若一条直线 a 与两条平行直线 b、 c 之一 (比如 b) 相交， 则必然与另一条 (即 c) 也相交。 理由是： 对相交直线 a 和 b 来说， a 上的点与 b 的距离会随该点与交点的距离增加而无限增加， 从而必定会大于平行线 b 与 c 的间距， 于是 a 必定会与 c 相交。 利用这一点， 普罗克洛斯就可以 “证明” 第五公设了， 因为 (如右图所示) 假如 EF 与 AB、 CD 相交， 且右侧内角之和 ∠BEF + ∠EFD 小于两直角， 则可作经过 E 点的直线 KH， 使右侧内角之和 ∠HEF + ∠EFD 等于两直角。 这样的直线 KH 必定与 CD 平行 (这是命题 27 的直接推论[注四])。 但既然 KH 与 CD 平行， 那么依先前 “证明” 了的命题， 便可推知与 KH、 CD 之一 (即 KH) 相交的直线 AB 必定与 CD 相交。 这正是第五公设所要求的。

普罗克洛斯的证明错在哪里呢？ 也请读者思考一下， 当然， 答案也用粗体标出了。 所有这些错误， 都是因为用到了要靠第五公设才能确立的命题， 这也是所有此类 “证明” 的共性。

试图证明第五公设的努力还有许许多多。 1890 年， 意大利数学家彼得罗·里卡尔迪 (Pietro Riccardi) 将截至 1887 年的努力作了汇编， 仅标题就达数十页。 限于篇幅， 让我们略过其他努力， 直接 “快进” 到非欧几何的 “前夜”——也就是早期探索的尾声， 介绍一下法国数学家阿德里安-马里·勒让德 (Adrien-Marie Legendre) 对第五公设的研究。

勒让德的研究很集中地体现在他的《几何基础》 (Eléments de géométrie) 一书中。 从 1794 年到 1823 年， 该书总共出了 12 版， 这些版本之间的修订很好地记录了勒让德试图证明第五公设的足迹。 在这串足迹里， 自以为成功的 “证明”， 当然都跟其他人的 “证明” 一样， 是错误的， 反是某些未达目标的努力， 倒确确实实是成立的， 因而有永久的价值。 希腊数学史专家托马斯·希斯 (Thomas Heath) 曾表示， 对第五公设早期探索的任何介绍若不涵盖勒让德研究中有永久价值的部分， 就是不完全的。 因此， 让我们以对那部分的简略介绍作为本文的结束。

摘要地说， 勒让德利用第五公设以外的《几何原本》证明了以下命题：

1. 若三角形的内角之和等于两直角， 则第五公设成立[注五]。
2. 若一个三角形的内角之和等于 (或小于) 两直角， 则所有三角形的内角之和等于 (或小于) 两直角[注六]。
3. 三角形的内角之和不可能大于两直角。

这些命题全都是正确的。 在这些命题中， 前两个是条件命题， 显然不能证明第五公设， 第三个不是条件命题， 但距离证明第五公设还差一半——即还差证明三角形的内角之和不可能小于两直角。 如果那一半也能被证明， 第五公设就被证明了——因为那样一来三角形的内角之和就必须等于两直角， 从而由第一个命题可推知第五公设成立。 《几何基础》自第 3 版开始， 收录了勒让德对那一半的 “证明”， 并一直保留到第 8 版。 到了第 9 版， 勒让德意识到该 “证明” 是错误的， 于是放弃。 但到了第 12 版， 他又 “晚节不保” 地给出了一个新 “证明”， 那个 “证明” 于发表后的第二年被其他数学家推翻， 也为勒让德证明第五公设的努力画上了句号。

如今我们知道， 勒让德试图证明的那一半其实等价于第五公设。

但勒让德证明第五公设的努力虽然失败， 他的研究却显示了欧几里得几何的一个重要性质， 对这一性质很多人存有误解。 很多人有这样一个印象——甚至有些书本也如是记述， 那就是在《几何原本》里假如放弃第五公设 (但保留其他公设)， 则可以有两种彼此相反的放弃方式。 比如三角形的内角之和在《几何原本》里等于两直角， 假如放弃第五公设， 则可以有 “三角形的内角之和大于两直角” 及 “三角形的内角之和小于两直角” 这两种放弃方式。 勒让德的研究——具体地说是上面引述的第三个命题——表明， 情况并非如此， 因为 “三角形的内角之和大于两直角” 是不成立的——换句话说是与第五公设以外的《几何原本》也矛盾的。 因此， 在对第五公设的两种放弃方式中， 只有一种是可以的。

这一性质也并非勒让德的独家发现， 事实上， 存在于两种放弃方式间的这种不对称通过 “普莱费尔公理” 也可以很清楚地看出。 “普莱费尔公理” 要求过直线外的一点只有一条直线与之平行， 因而显然有 “过直线外的一点没有直线与之平行” 及 “过直线外的一点有不止一条直线与之平行” 这两种放弃方式。 但《几何原本》的命题 27 和 28 都确立了平行线的存在性 (且两者都没有用到第五公设)， 从否决了两种放弃方式中的一种。

欧几里得几何的这一性质之所以被很多人误解， 在一定程度上是拜非欧几何所赐， 因为对非欧几何有所了解的人大都知道两种非欧几何——罗巴切夫斯基几何 (Lobachevsky geometry) 与球面几何 (spherical geometry)， 对应于第五公设的两种放弃方式。 但其实， 只有罗巴切夫斯基几何 (在其中三角形的内角之和小于两直角， 过直线外的一点有不止一条直线与之平行) 是只放弃第五公设； 球面几何则除第五公设外， 还必须放弃某些其他公设 (以及某些只在现代表述中才被引入的公理)[注七]， 这后一点在浅显的介绍中往往被忽视。

关于第五公设的早期探索， 我们就介绍到这里。 亚里士多德曾经表示， 只有无知才会让人试图证明公理 (或公设)， 对第五公设来说， 他显然说错了， 试图证明第五公设的努力不但不无知， 而且最终开辟了一个宏伟的数学新天地。 另一方面， 所有证明第五公设的努力都归于失败这一事实， 说明第五公设非但不是《几何原本》的瑕疵， 相反， 它被列为公设乃是欧几里得胜过无数后世研究者的卓越判断——正如著名科学史学家乔治·萨顿 (George Sarton) 所说： “一个普通智力的人会说那个命题是显而易见无需证明的， 一个好点的数学家会意识到证明的必要并试图证明它， 只有非凡的天才才会意识到证明是需要却办不到的。”

1. 波希多尼生于公元前 135 年， 卒于公元前 51 年。 如果不用 “通才” 来概括， 他的头衔将包括哲学家、 政治家、 天文学家、 地理学家、 历史学家、 教育家， 等等。
2. 这是因为， 彼此等距 (从而满足波希多尼的平行线定义) 的直线虽一定不会相交 (从而也满足《几何原本》里的平行线定义)， 反过来却不然， 互不相交 (从而满足《几何原本》里的平行线定义) 的直线彼此未必等距 (从而未必满足波希多尼的平行线定义)。
3. 所谓第五公设的等价表述， 指的是该表述与第五公设的等价性可在第五公设以外的《几何原本》里得到证明。 其中 “第五公设以外的《几何原本》” 包含了《几何原本》里的平行线定义， 该定义若被替换而又不能证明替换的等价性， 则所谓第五公设的等价表述也就不复等价了。 另外顺便说明一下， 我们这里所说的 “第五公设以外的《几何原本》” 可延伸为除去了平行公理的希尔伯特公理体系。
4. 命题 27 指的是： 若一条直线与两条直线相交， 且内错角相等， 则那两条直线彼此平行。 感兴趣的读者请用这一命题补全对 “KH 必定与 CD 平行” 的证明。
5. 确切地说， 是 “普莱费尔公理” 成立， 但 “普莱费尔公理” 与第五公设等价， 因此也就等于是第五公设成立。 另外值得一提的是， 《几何原本》的命题 32 乃是这一命题的逆命题 (即如果第五公设成立， 则三角形的内角之和等于两直角)， 因此勒让德相当于证明了 “三角形的内角之和等于两直角” 与第五公设等价。
6. 这一命题表明在欧几里得几何中， 三角形的内角之和与两直角的大小关系是普适的——也就是说， 在这种关系里可以用一个三角形代表所有三角形， 而不必强调是 “一个” 还是 “所有”。
7. 比如球面上的两条 “直线” (即大圆) 相交于两点， 从而必须放弃公设 1， 球面上的 “直线” (即大圆) 不能无限延伸， 从而必须放弃公设 2。 此外， 球面几何还会破坏希尔伯特公理体系中的次序公理 (次序公理不是《几何原本》里的公设， 是希尔伯特公理体系比《几何原本》更严密的诸多补充之一)。 球面几何所必须放弃的额外公设和公理可通过将球面几何改造成所谓 “椭圆几何” (elliptic geometry) 而有所减少。

1. J. S. Bardi, The Fifth Postulate (John Wiley & Sons, Inc., 2009).
2. Euclid, The Thirteen Books of the Elements, 3 vols. (Cambridge University Press, 1908).
3. M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, vol. 1 (Oxford University Press, 1972).
4. F. P. Lewis, History of the Parallel Postulate, The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1, pp. 16-23 (1920).
5. Proclus, The Philosophical and Mathematical Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid's Elements (London Printed for the Author, 1792).
6. B. A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry (Springer-Verlag, 1988).
7. G. Sarton, Hellenistic Science & Culture in the Last Three Centuries B.C. (Dover Publications, 1959).
8. J. Stillwell, Reverse Mathematics: Proofs from the Inside Out (Princeton University Press, 2018).
9. R. J. Trudeau, The Non-Euclidean Revolution (Birkhäuser, 2008).

2019 年  3 月 21 日完稿
2019 年  5 月 30 日发布
https://www.changhai.org/

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