照镜子为什么是左右颠倒，而不是上下颠倒？

照镜子为什么是左右颠倒，而不是上下颠倒？

本文来自依云's Blog，转载请注明。

这是个虽然简单但是很有意思的问题，以前我竟然未曾想过。后来看到「宇宙的心弦」上对这个问题的回答写得太模糊（什么叫「镜子里头脚的位置没变」？「位置没变」的定义是什么？），所以这里写一个尽可能精确描述的回答。首先，我们讨论最容易引起问题的那种情景，即人站立时正面照镜子。

首先定义几个概念。

左右。以你为原点，你的左手方向为左，右手方向为右。（你知道哪只手是左手吧？）

上下。站在地球表面，在空中静止释放一物体，由于重力，它会运动起来。其运动方向为下，反之为上。

前后。这个有点奇特。你面前站了一个人，背心对着你的时候，这是那人的后面。面对着你的时候，你看到那人的前面。我们的问题隐含了作为观察者的你，去看外界的像，而不是考察你自己，对吧？

让我们再定义一下坐标系。

右为 x 轴正方向，上为 y 轴正方向，由你（观察者）的后背指向你的胸前为 z 轴正方向。

作为观察者，这里有一个很明白的变换：你所认为「正」的像，其坐标要绕 y 轴旋转 180°，才能与你观察时使用的坐标系一致。让我解释得更清楚一些——

拿鼠标指针选中你，按一下Ctrl-D（如果你不是 Inkscape 用户，那就按一下Ctrl-C再按一下Ctrl-V）。现在有了你的一个像。但是你看不到它，因为它和你重合了。让我们把这个像向 z 轴正方向平衡一段距离，比如 2m，你再看看？哟，它怎么背对着你呀？不行，再原地转身 180°，这样才能看到正面不是？

忽略掉平移，让我们把这个变换记作 T1，有

我们再来考察一下镜子做了什么。

想像镜子前有一个坐标系的三根轴，就是我们刚刚定义的那个。其中 z 轴正方向指向镜面。于是乎，镜子里的 x 轴与外边的 x 轴是平行且方向一致的。y 轴也是这样。但是 z 轴的位置没有改变，方向却反了过来，箭头对箭头了。所以，这种放置法，使得像与物体的 z 轴反了，z 变成了 −z。还是忽略掉平移，让我们把这个变换记作 T2

所以，最终作为观察者的你，看到的镜中的自己经历的变换是：

即最终的像的坐标中的 x 变成了 −x，即左右颠倒。

让我们再考虑另一种情况试试。如果把镜子放在头顶上，看过去会是什么感觉呢？

这时候，y 轴一头扎进了镜子，于是，我们的第三个变换 T3 为：

乘一下，结果是：

咦？这不是上下、左右、前后都颠倒了吗？找面位于天花板的镜子试试看。上下的确颠倒了不是么？再伸出左手试试，左右也和在面前的镜子里一样，也是颠倒的。可，前后感觉并没有颠倒啊？这是因为观察者和被观察对象位于同一垂直线上，感觉不一样了。仔细想想，天花板镜子里的像的前后确实与面前的镜子晨那个的前后是对着的，不是么？而我们定义后者没有颠倒，那么前者当然相对于后者是颠倒过了嘛。

个人拙见 =w=