你可能不需要BERT-flow：一个线性变换媲美BERT-flow

BERT-flow来自论文 《On the Sentence Embeddings from Pre-trained Language Models》 ，中了ACL2020，主要是用flow模型校正了BERT出来的句向量的分布，从而使得计算出来的cos相似度更为合理一些。由于笔者定时刷Arixv的习惯，早在它放到Arxiv时笔者就看到了它，但并没有什么兴趣，想不到前段时间小火了一把，短时间内公众号、知乎等地出现了不少的解读，相信读者们多多少少都被它刷屏了一下。

从实验结果来看，BERT-flow确实是达到了一个新SOTA，但对于这一结果，笔者的第一感觉是：不大对劲！当然，不是说结果有问题，而是根据笔者的理解，flow模型不大可能发挥关键作用。带着这个直觉，笔者做了一些分析，果不其然，笔者发现尽管BERT-flow的思路没有问题，但只要一个线性变换就可以达到相近的效果，flow模型并不是十分关键。

一般来说，我们语义相似度比较或检索，都是给每个句子算出一个句向量出来，然后算它们的夹角余弦来比较或者排序。那么，我们有没有思考过这样的一个问题：余弦相似度对所输入的向量提出了什么假设呢？或者说，满足什么条件的向量用余弦相似度做比较效果会更好呢？

我们知道，两个向量$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$的内积的几何意义就是“各自的模长乘以它们的夹角余弦”，所以余弦相似度就是两个向量的内积并除以各自的模长，对应的坐标计算公式是

\begin{equation}\cos(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \frac{\sum\limits_{i=1}^d x_i y_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^d x_i^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^d y_i^2}}\label{eq:cos}\end{equation}

然而，别忘了一件事情，上述等号只在“标准正交基”下成立。换句话说，向量的“夹角余弦”本身是具有鲜明的几何意义的，但上式右端只是坐标的运算，坐标依赖于所选取的坐标基，基底不同，内积对应的坐标公式就不一样，从而余弦值的坐标公式也不一样。

因此，假定BERT句向量已经包含了足够的语义（比如可以重构出原句子），那么如果它用公式$\eqref{eq:cos}$算余弦值来比较句子相似度时表现不好，那么原因可能就是此时的句向量所属的坐标系并非标准正交基。那么，我们怎么知道它具体用了哪种基底呢？原则上没法知道，但是我们可以去猜。猜测的依据是我们在给向量集合选择基底时，会尽量地用好每一个基向量，从统计学的角度看，这就体现为每个分量的使用都是独立的、均匀的，如果这组基是标准正交基，那么对应的向量集应该表现出“各项同性”来。

当然，这不算是什么推导，只是一个启发式引导，它告诉我们如果一个向量的集合满足各向同性，那么我们可以认为它源于标准正交基，所以可以考虑用式$\eqref{eq:cos}$算相似度；反之，如果它并不满足各向同性，那么可以想办法让它变得更加各向同性一些，然后再用式$\eqref{eq:cos}$算相似度，而BERT-flow正是想到了“flow模型”这个办法。

依笔者来看，flow模型真的是一种让人哭笑不得的模型了，关于它的碎碎念又可以写上几页纸，这里尽量长话短说。2018年中，OpenAI发布了Glow模型，效果看起来很不错，这吸引了笔者进一步去学习flow模型，甚至还去复现了一把Glow模型，相关工作记录在 《细水长flow之NICE：流模型的基本概念与实现》 和 《细水长flow之RealNVP与Glow：流模型的传承与升华》 中，如果还不了解flow模型的，欢迎去看看这两篇博客。简单来说，flow模型是一个向量变换模型，它可以将输入数据的分布转化为标准正态分布，而显然标注正态分布是各向同性的，所以BERT-flow就选择了flow模型。

为什么说flow模型让人哭笑不得呢？其实之前在文章 《细水长flow之可逆ResNet：极致的暴力美学》 就已经吐槽过了，这里重复一下：

（flow模型）通过比较巧妙的设计，使得模型每一层的逆变换比较简单，而且雅可比矩阵是一个三角阵，从而雅可比行列式很容易计算。这样的模型在理论上很优雅漂亮，但是有一个很严重的问题：由于必须保证逆变换简单和雅可比行列式容易计算，那么每一层的非线性变换能力都很弱。事实上像Glow这样的模型，每一层只有一半的变量被变换，所以为了保证充分的拟合能力，模型就必须堆得非常深（比如256的人脸生成，Glow模型堆了大概600个卷积层，两亿参数量），计算量非常大。

看到这里，读者就能理解为什么笔者开头说看到BERT-flow的第一感觉就是“不对劲”了。上述吐槽告诉我们，flow模型其实是很弱的；然后BERT-flow里边所用的flow模型是多大呢？是一个level=2、depth=3的Glow模型，这两个参数大家可能没什么概念，反正就是很小，以至于整个模型并没有增加什么计算量。所以，笔者的“不对劲”直觉就是：

flow模型本身很弱，BERT-flow里边使用的flow模型更弱，所以flow模型不大可能在BERT-flow中发挥至关重要的作用。反过来想，那就是也许我们可以找到更简单直接的方法达到BERT-flow的效果。

经过探索，笔者还真找到了这样的方法，正如本文标题所说，它只是一个线性变换。

其实思想很简单，我们知道标准正态分布的均值为0、协方差矩阵为单位阵，那么我们不妨将句向量的均值变换为0、协方差矩阵变换为单位阵试试看？假设（行）向量集合为$\{\boldsymbol{x}_i\}_{i=1}^N$，我们执行变换

\begin{equation}\tilde{\boldsymbol{x}}_i = (\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu})\boldsymbol{W}

\end{equation}

使得$\{\tilde{\boldsymbol{x}}_i\}_{i=1}^N$的均值为0、协方差矩阵为单位阵。了解传统数据挖掘的读者可能知道，这实际上就相当于传统数据挖掘中的白化操作（Whitening）。

均值为0很简单，让$\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N \boldsymbol{x}_i$即可，有点难度的是$\boldsymbol{x}$矩阵的求解。将原始数据的协方差矩阵记为

\begin{equation}\boldsymbol{\Sigma}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}(\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu})^{\top}(\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu})\end{equation}

那么不难得到变换后的数据协方差矩阵为$\tilde{\boldsymbol{\Sigma}}=\boldsymbol{W}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{W}$，所以我们实际上要解方程

\begin{equation}\boldsymbol{W}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{W}=\boldsymbol{I}\quad\Rightarrow \quad \boldsymbol{\Sigma} = \left(\boldsymbol{W}^{\top}\right)^{-1}\boldsymbol{W}^{-1} = \left(\boldsymbol{W}^{-1}\right)^{\top}\boldsymbol{W}^{-1}\end{equation}

我们知道协方差矩阵$\boldsymbol{\Sigma}$是一个正定对称矩阵，所以具有如下形式的SVD分解

\begin{equation}\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{U}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{U}^{\top}\end{equation}

其中$\boldsymbol{\Lambda}$是一个对角阵，并且对角线元素都是正的，因此直接让$\boldsymbol{W}^{-1}=\boldsymbol{U}\sqrt{\boldsymbol{\Lambda}}$就可以完成求解。

Numpy的参考代码为：

def compute_kernel_bias(vecs):
    """计算kernel和bias
    vecs.shape = [num_samples, embedding_size]，
    最后的变换：y = (x + bias).dot(kernel)
    """
    mu = vecs.mean(axis=0, keepdims=True)
    cov = np.cov(vecs.T)
    u, s, vh = np.linalg.svd(cov)
    W = np.dot(u, np.diag(s**0.5))
    W = np.linalg.inv(W.T)
    return W, -mu

现在，我们就可以测试一下上述简单的白化操作（下面记为BERT-whitening）的效果了。为了跟BERT-flow对比，笔者用bert4keras在STS-B任务上进行了测试，参考脚本在：

Github链接： https://github.com/bojone/BERT-whitening

效果比较如下：

\begin{array}{l|c}

\hline

& \,\,\text{STS-B}\,\, \\

\hline

\text{BERT}_{\text{base}}\text{-last2avg}\,(\text{论文结果}) & 59.04 \\

\text{BERT}_{\text{base}}\text{-flow}\,(\text{target, 论文结果}) & 70.72 \\

\text{BERT}_{\text{base}}\text{-last2avg}\,(\text{个人复现}) & 58.47 \\

\text{BERT}_{\text{base}}\text{-whitening}\,(\text{target, 个人实现}) & 71.86 \\

\hline

\text{BERT}_{\text{large}}\text{-last2avg}\,(\text{论文结果}) & 59.56 \\

\text{BERT}_{\text{large}}\text{-flow}\,(\text{target, 论文结果}) & 72.26 \\

\text{BERT}_{\text{large}}\text{-last2avg}\,(\text{个人复现}) & 57.82 \\

\text{BERT}_{\text{large}}\text{-whitening}\,(\text{target, 个人实现}) & 71.94 \\

\hline

\end{array}

可以看到，简单的BERT-whitening能取得跟BERT-flow媲美的结果。除了STS-B之外，笔者同事在中文业务数据内做了类似的比较，结果都表明BERT-flow带来的提升跟BERT-whitening是相近的，这表明，flow模型的引入可能没那么必要了，因为flow模型的层并非常见的层，它需要专门的实现，并且训练起来也有一定的工作量，而BERT-whitening的实现很简单，就一个线性变换，可以轻松套到任意的句向量模型中。

注：这里顺便补充一句，BERT-flow论文里边说的last2avg，本来含义是最后两层输出的平均向量，但它的代码实际上是“第一层+最后一层”输出的平均向量，相关讨论参考 ISSUE 。

所以，目前的结果就是：笔者的若干实验表明，通过简单的线性变换（BERT-whitening）操作，效果基本上能媲美BERT-flow模型，这表明往句向量模型里边引入flow模型可能并非那么关键，它对分布的校正可能仅仅是浅层的，而通过线性变换直接校正句向量的协方差矩阵就能达到相近的效果。

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