决策树算法-理论篇-如何计算信息纯度

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1，什么是决策树？

决策树是一种机器学习算法，我们可以使用决策树来处理分类问题。决策树的决策（分类）过程可以用一个倒着的树形结构来形象的表达出来，因此得名决策树。

决策树是一个包含根节点、若干内部节点和若干叶子节点的树形结构。决策树的根节点包含样本全集，内部节点对应特征属性，叶子节点表示决策的结果。

使用决策树进行判断时，从根节点开始，测试待分类数据的特征属性值，应该走哪条分支，循环这样判断，直到叶子节点为止。最终到达的这个叶子节点，就是决策树的最终决策结果。

决策树模型的学习过程一般有三个阶段：

• 特征选择：选择哪些属性作为树的节点。
• 生成决策树：生成树形结构。
• 决策树剪枝：是决策树的一种优化手段，比如剪去一些不必要的属性节点。一般有“预剪枝”和“后剪枝”两种。
  • 剪枝的目的是防止过拟合现象，提高泛化能力。
  • 预剪枝是在决策树的生成过程中就进行剪枝，缺点是有可能造成欠拟合。
  • 后剪枝是在决策树生成之后再进行剪枝，缺点是计算量较大。

我们来看一个例子。

比如我们根据天气是否晴朗和是否刮风来决定是否去踢球？当天气晴朗并且不刮风的时候，我们才去踢球。

此时，就可以将这个决策过程用一个树形结构来表示，如下：

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这就是一颗最简单的决策树，我们可以用它来判断是否要去踢球。最上方是树的根节点，最下方是树的叶子节点。方框里是判断条件，圆形中是决策的结果。

当然，实际的使用过程中，判断条件并不会这么简单，也不会让我们自己手动画图。实际应用中，我们会让程序自动的，从一堆样本数据集中构造出这颗决策树，这个程序自动构建决策树的过程就是机器学习的过程。

最终构造出来的这棵决策树就是机器学习的结果，叫做模型。最后，我们可以向模型中输入一些属性条件，让模型给出我们判断结果。

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2，如何构建决策树？

比如我们有如下数据集：

序号 条件:天气晴朗? 条件:是否刮风? 结果:去踢球吗? 1 是 否 去 2 是 是 不去 3 否 是 不去 4 否 否 不去

可以看到这个表格中有4 行（第一行表头不算），4 列数据。

一般在机器学习中，最后一列称为目标(target)，前边的列都称为特征(features)。

我们要根据这个数据集，来构建一颗决策树，那如何构建呢？

首先，需要确定使用哪个属性作为第一个判断条件，是先判断天气晴朗，还是先判断是否刮风？也就是，让天气晴朗作为树的根节点，还是让是否刮风作为树的根节点？

解决这个问题需要用到信息熵和信息纯度的概念，我们先来看什么是信息熵。

3，什么是信息熵？

1948 年，克劳德·香浓在他的论文“通信的数学原理”中提到了信息熵（一般用H 表示），度量信息熵的单位是比特。

就是说，信息量的多少是可以量化的。一条信息量的多少与信息的不确定性有关，可以认为，信息量就等于不确定性的多少（信息的不确定度）。

信息熵的计算公式如下：

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该公式的含义是：

• 待分类的事物可以分在多个分类中，这里的n 就是分类的数目。
• H(X) 表示熵，数学含义是，所有类别包含的信息期望值。
• -㏒p(Xì)表示符号的信息值，p(Xì) 是选择该分类的概率。
• 公式中的log 一般以2 为底。

总之，就是要知道，信息量的多少是可以用数学公式计算出来的，用信息论中的专业术语就叫做信息熵。信息熵越大，信息量也就越大。

3.1，计算信息熵

那么我们就来计算一下上面表格数据的信息熵。我们只关注“结果”那一列：

结果:去踢球吗? 去 不去 不去 不去

根据表格，我们可以知道，所有的分类共有2 种，也就是“去” 和“不去”，“去”出现了1 次，“不去”出现了3 次。

分别计算“去” 和“不去” 出现的概率：

• P(去) = 1 / 4 = 0.25
• P(不去) = 3 / 4 = 0.75

然后，根据熵的计算公式来计算“去”和“不去” 的信息熵，其中log 以2 为底：

• H(去) = 0.25 * log 0.25 = -0.5
• H(不去) = 0.74 * log 0.75 = -0.31127812445913283

所以，整个表格含有的信息量就是：

• H(表格) = -(H(去) + H(不去)) = 0.81127812445913283

3.2，用代码实现信息熵的计算

将计算信息熵的过程用Python 代码实现，如下：

import math

# 本函数用于计算一组数据的信息熵
# data_set 是一个列表，代表一组数据
# data_set 的元素data 也是一个列表
def calc_ent(data_set):
    labels = {} # 用于统计每个label 的数量
    
    for data in data_set:
        label = data[-1]	# 只用最后一个元素做计算
        if label not in labels:
            labels[label] = 0

        labels[label] += 1 

    ent = 0 # 熵
    n = len(data_set)   # 数据条数

    # 计算信息熵
    for label in labels:
        prob = float(labels[label]) / n # label 的概率
        ent -= prob * math.log(prob, 2) # 根据信息熵公式计算

    return ent

下面用该函数来计算表格的信息熵：

# 将表格转化为 python 列表
# "yes" 表示"去"
# "no" 表示"不去"
data_set = [['yes'], ['no'], ['no'], ['no']] 
ent = calc_ent(data_set)
print(ent)	# 0.811278124459

可见，用代码计算出来的结果是 0.811278124459，跟我们手算的结果 0.81127812445913283 是一样的（保留的小数位数不同）。

4，什么是信息纯度？

信息的纯度与信息熵成反比：

• 信息熵越大，信息量越大，信息越杂乱，纯度越低。
• 信息熵越小，信息量越小，信息越规整，纯度越高。

经典的“不纯度”算法有三种，分别是：

• 信息增益，即 ID3 算法，Information Divergence，该算法由 Ross Quinlan 于1975 年提出，可用于生成二叉树或多叉树。
  • ID3 算法会选择信息增益最大的属性来作为属性的划分。
• 信息增益率，即 C4.5 算法，是 Ross Quinlan 在ID3 算法的基础上改进而来，可用于生成二叉树或多叉树。
• 基尼不纯度，即 CART 算法，Classification and Regression Trees，中文为分类回归树。
  • 只支持二叉树，即可用于分类数，又可用于回归树。分类树用基尼系数做判断，回归树用偏差做判断。
  • 基尼系数本身反应了样本的不确定度。
    • 当基尼系数越小的时候，样本之间的差异性越小，不确定程度越低。
    • CART 算法会选择基尼系数最小的属性作为属性的划分。

信息增益是其中最简单的一种算法，后两者都是由它衍生而来。本篇文章中，我们只详细介绍信息增益。

基尼系数是经济学中用来衡量一个国家收入差距的常用指标。当基尼系数大于 0.4 的时候，说明财富差异较大。基尼系数在 0.2-0.4 之间说明分配合理，财富差距不大。

5，ID3 算法

ID3 算法也就是信息增益，在根据某个属性划分数据集的前后，信息量发生的变化。

信息增益的计算公式如下：

该公式的含义：

• 简写就是：G = H(父节点) - H(所有子节点)
• 也就是：父节点的信息熵减去所有子节点的信息熵。
• 所有子节点的信息熵会按照子节点在父节点中的出现的概率来计算，这叫做归一化信息熵。

信息增益的目的在于，将数据集划分之后带来的纯度提升，也就是信息熵的下降。如果数据集在根据某个属性划分之后，能够获得最大的信息增益，那么这个属性就是最好的选择。

所以，我们想要找到根节点，就需要计算每个属性作为根节点时的信息增益，那么获得信息增益最大的那个属性，就是根节点。

5.1，计算信息增益

为了方便看，我将上面那个表格放在这里：

序号 条件:天气晴朗? 条件:是否刮风? 结果:去踢球吗? 1 是 否 去 2 是 是 不去 3 否 是 不去 4 否 否 不去

我们已经知道了，信息增益等于按照某个属性划分前后的信息熵之差。

这个表格划分之前的信息熵我们已经知道了，就是我们在上面计算的结果：

• H(表格) = 0.81127812445913283。

接下来，我们计算按照“天气晴朗”划分的信息增益。按照“天气晴朗”划分后有两个表格。

表格1，“天气晴朗”的值为“是”：

序号 条件:天气晴朗? 条件:是否刮风? 结果:去踢球吗? 1 是 否 去 2 是 是 不去

分类共有2 种，也就是“去” 和“不去”，“去”出现了1 次，“不去”出现了1 次。

所以，“去” 和“不去” 出现的概率均为0.5：

• P(去) = P(不去) = 1 / 2 = 0.5

然后，“去”和“不去” 的信息熵，其中log 以2 为底：

• H(去) = H(不去) = 0.5 * log 0.5 = -0.5

所以，表格1 含有的信息量就是：

• H(表格1) = -(H(去) + H(不去)) = 1

表格2，“天气晴朗”的值为“否”：

序号 条件:天气晴朗? 条件:是否刮风? 结果:去踢球吗? 3 否 是 不去 4 否 否 不去

所有的分类只有1 种，是“不去”。所以：

• P(不去) = 1

然后，“不去” 的信息熵，其中log 以2 为底：

• H(不去) = 1 * log 1 = 0

所以，表格2 含有的信息量就是：

• H(表格2) = 0

总数据共有4 份：

• 表格1 中有2 份，概率为 2/4 = 0.5
• 表格2 中有2 份，概率为 2/4 = 0.5

所以，最终按照“天气晴朗”划分的信息增益为：

• G(天气晴朗) = H(表格) - (0.5*H(表格1) + 0.5*H(表格2)) = H(表格) - 0.5 = 0.31127812445913283。

5.2，ID3 算法的缺点

当我们计算的信息增益多了，你会发现，ID3 算法倾向于选择取值比较多的属性作为（根）节点。

但是有的时候，某些属性并不会影响结果（或者对结果的影响不大），那此时使用ID3 选择的属性就不恰当了。

为了改进ID3 算法的这种缺点，C4.5 算法应运而生。

6，C4.5 算法

C4.5 算法对ID3 算法的改进点包括：

• 采用信息增益率，而不是信息增益，避免ID3 算法有倾向于选择取值多的属性的缺点。
• 加入了剪枝技术，防止ID3 算法中过拟合情况的出现。
• 对连续的属性进行离散化的处理，使得C4.5 算法可以处理连续属性的情况，而ID3 只能处理离散型数据。
• 处理缺失值，C4.5 也可以针对数据集不完整的情况进行处理。

当然C4.5 算法也并不是没有缺点，由于 C4.5算法需要对数据集进行多次扫描，所以算法效率相对较低。

ID3 和C4.5 都是基于信息熵，所以涉及大量的对数运算。而 CART 算法基于基尼系数，不涉及对数运算。

7，CART 算法

CART 算法全称为分类回归树，基于基尼系数。

基尼系数的计算公式如下：

该公式表示的含义是：

• 整个数据集共有 k 个类别。
• 第 n 个类别的概率为 Pn。

基尼系数的效果与熵模型高度近似，而且避免了对数运算，因此CART 算法的执行效率较高。

本篇文章主要介绍了决策树的基本原理，决策树的算法一般有三种，分别是ID3 算法，C4.5 算法，CART 算法，其中重点介绍了ID3 算法的计算过程。

下篇会介绍如何用决策树来解决实际问题。

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