蓄水池抽样浅说 (1)

蓄水池抽样浅说 (1) – 犊犊的小棚棚

我们有时候会有进行数据抽样的需要，比如要从文件中随机取出若干行，或从数据集中随机取出若干数据进行分析。通常情况下这并不是什么难事，比如 Python 中直接提供了

random.sample() 来做这件事，Numpy 中更提供了功能更为强大的 numpy.random.choice()。然而这些东西都有一个问题，就是你必须把整个数据集读到内存里。如果数据集超出了内存的限制，或者要对一个持续的输入流做抽样，即从包含 n 个项目的集合中（等概率）选取 k 个样本，其中 n 为很大或未知，又该怎么做呢？

这里介绍的方法都有一个共同的特点，就是建立一个“蓄水池” (reservoir)，池的大小就是要选出的样本大小，如果元素没有充满池子，那自然每个元素都被选进来了。如果池子满了以后还有新的元素来了，就以一定概率从池中换一个元素出去。

举个具体的例子来说吧，输入的是自然数流 1, 2, 3, 4, 5, … 样本数 k=3，也就是说要保证等概率地从流中选出 3 个元素。前三个数自然先把位子都站好了，这时候 P=1。

输入第四个数 4 的时候，我们先要保证它进入池中的概率是 34。然后换掉谁呢？1 ~ 3 这三个数被换掉的概率都应该是 14，于是 1 ~ 4 这四个数留在池中的概率都是 34。

具体怎么做呢？一种做法是对第 n 项，生成一个 1∼n 的随机数 j。如果 j≤k，则用第 n 项替换第 j 项。

这个方法对不对呢？利用数学归纳法，假设 n=N 时，第 i 项被抽到的概率

Pi(N)=kN

则 n=N+1 时，第 N+1 项被选中的概率

PN+1(N+1)=kN+1

而第 1∼N 项则要再去掉它在前 k 个元素中被新加进来的项替换掉的情况

Pi(N+1)=kN⋅(1–PN+1⋅1k)=kN⋅(1–1N+1)=kN+1

我们已经知道，对于 n=k 时，第 i 项被抽到的概率都是 Pi(k)=1=kn。于是得证。

这就是所谓的“Algorithm R”。这个东西实现起来也很简单：

import random
import sys


def reservoirSample(stream, sample_size):
    result = []
    for index, line in enumerate(stream):
        if index < sample_size:
            result.append(line)
        else:
            r = int(random.random() * (index + 1))
            if r < sample_size:
                result[r] = line
    return result

if __name__ == '__main__':
    print(reservoirSample(sys.stdin, 10))

上面这个方法是不是很巧妙？太巧妙了。不过我们还可以有另外一个更简单的思路。比如说，对进来的每一项，都给它指派一个 [0,1] 均匀分布的随机数。然后把所有数字按照升序或者降序排列。最后选出最前面（或者最后面）的 k 项就可以了。

这个东西看起来非常直观啊。不过证明起来……有点搞。不想看的同学请直接跳过：

假设一共有 n 项，我们已经定好了要选出的最大的 k 项，那么对于第 k+1 大的那一项，有 n−k 个均匀分布的变量 ui 都比它小，所以它的分布函数是

F(x)=∏i=1n−kP(ui≤x)=xn−k

而剩下的 k 个变量都比 x 大的概率则是 (1−x)k。于是，要选出一组特定的 k 个元素的样本 s 的概率是 @_@

P=∫01(1−x)kdF(x)=(n−k)∫01(1−x)kxn−k−1dx

注意到右边是个欧拉积分…… Beta 函数在整数参量的时候有

B(x,y)=∫01tx(1−t)ydt=x!y!(x+y+1)!

套进去就得到了

P=(n−k)B(k,n−k−1)=k!(n−k)!n!=(nk)−1

正好是从 n 个样本中选 k 个元素时选到特定一组的概率。证毕。

实现起来倒是很方便，只需要维护一个大小为 k 的堆就可以了：

import random
import sys
import heapq


def reservoirSample(stream, sample_size):
    result = []
    for index, line in enumerate(stream):
        key = random.random()
        if index < sample_size:
            heapq.heappush(result, (key, line))
        elif key > heapq.nsmallest(1, result)[0][0]:
            heapq.heappushpop(result, (key, line))
    return list(zip(*result))[1]

if __name__ == '__main__':
    print(reservoirSample(sys.stdin, 10))

这个方法也很好，只不过是每次操作要维护这个堆需要 O(log⁡k) 的时间，稍微慢了那么一点点。但是这个思路还有其他的优势，我们后面再谈。

好了，今天先说到这吧。但是问题还没有完。这两种方法需要产生多少随机数呢？n−k 个。而且每一个元素都要放进来比较。有没有快一点的方法呢？且听下回分解。

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