方差计算的简单实现

在概率统计中,方差用于衡量一组数据的离散程度,相关的计算公式如下(总体方差):

μ = 1 N ∑ i = 1 N x i σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2

​μ=N1​i=1∑N​xi​σ2=N1​i=1∑N​(xi​−μ)2​

其中 μ \mu μ 为数据的平均值, 而 σ 2 \sigma^2 σ2 即是(总体)方差.

相应的实现代码如下:

-- Lua
function average(values, count)
    local sum = 0
    
    for i = 1, count do
        sum = sum + values[i]
    end
    
    return sum / count
end

function variance(values, count)
    local average = average(values, count)
    local variance = 0
    
    for i = 1, count do
        local delta = values[i] - average 
        variance = variance + delta * delta
    end
    
    return variance / count
end

通常我们需要在获取新样本数据时更新方差,简单的方法就是按照上述公式重新计算一遍,我们可以通过计算数据子集方差的方式来模拟这个过程:

-- Lua
function variance_list(values)
    local ret = {}
    
    for i = 1, #values do
        ret[i] = variance(values, i)
    end
    
    return ret
end

更好的一种方式是通过递推来计算数据子集的方差,这需要对方差的计算公式做一些变形:

σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2    ⟹    σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i 2 + μ 2 − 2 x i μ )    ⟹    σ 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N x i 2 + ∑ i = 1 N μ 2 − ∑ i = 1 N 2 x i μ )    ⟹    σ 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N x i 2 + N μ 2 − 2 μ ∑ i = 1 N x i )    ⟹    σ 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N x i 2 + N μ 2 − 2 N μ 2 )    ⟹    σ 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N x i 2 − N μ 2 )    ⟹    σ 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N x i 2 − N ( ∑ i = 1 N x i N ) 2 )    ⟹    σ 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N x i 2 − ( ∑ i = 1 N x i ) 2 N )

​σ2=N1​i=1∑N​(xi​−μ)2⟹σ2=N1​i=1∑N​(xi2​+μ2−2xi​μ)⟹σ2=N1​(i=1∑N​xi2​+i=1∑N​μ2−i=1∑N​2xi​μ)⟹σ2=N1​(i=1∑N​xi2​+Nμ2−2μi=1∑N​xi​)⟹σ2=N1​(i=1∑N​xi2​+Nμ2−2Nμ2)⟹σ2=N1​(i=1∑N​xi2​−Nμ2)⟹σ2=N1​(i=1∑N​xi2​−N(N∑i=1N​xi​​)2)⟹σ2=N1​(i=1∑N​xi2​−N(∑i=1N​xi​)2​)​

基于此,我们就可以递推的计算数据子集的方差了,相关的计算复杂度则降低了一个数量级( O ( n 2 )    ⟹    O ( n ) O(n^2) \implies O(n) O(n2)⟹O(n)):

-- lua
function variance_list_recurrence(values)
    local ret = {}
    
    local pre_square_sum = 0
    local pre_sum = 0
    
    for i = 1, #values do
        local val = values[i]
        
        pre_square_sum = pre_square_sum + val * val
        pre_sum = pre_sum + val
        
        ret[i] = (pre_square_sum - (pre_sum * pre_sum / i)) / i
    end
    
    return ret
end