第2-2课：线性代数方程组的求解

第2-2课：线性代数方程组的求解

4 years ago

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多元一次方程组，又称为线性代数方程组。在数值分析领域里有很多算法都会用到线性代数方程组的求解，比如三次样条曲线拟合时用到的插值算法。求解线性代数方程组可以用高斯消元法，高斯消元法是一种代数的方法，其主要思想是通过对系数矩阵进行行变换，将方程组的系数矩阵由对称矩阵变为三角矩阵，从而达到消元的目的，最后通过回代逐个获得方程组的解。这和手工求解多元一次线性方程组的解体思想是一致的，类似于各种公式法求解方程的方式。

这一课我们介绍两种常用的迭代法求解方程组，分别是雅可比迭代法（Jacobi）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss–Seidel）。迭代法不仅可以求解线性方程组，还可以求解非线性方程组，并且迭代法的算法实现简单，便于用硬件逻辑实现，在数值分析领域中得到了广泛的应用。通过这两种迭代法的算法实现过程，大家可以进一步理解迭代法的本质。

雅可比迭代法

雅克比迭代法以普鲁士著名数学家雅可比的名字命名，其原理很简单，迭代计算公式也很简单。雅可比迭代法只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵 A 保持不变，便于用多线程并行计算的方式优化效率。对于 n 阶线性方程组 Ax=b，假如其系数矩阵 A 是非奇异矩阵，且对角线元素非 0，就可以证明雅可比迭代过程是收敛的。

先来看看雅可比迭代法迭代关系式的推导过程，对于 n 阶方程组：

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