GAMES101 - 现代计算机图形学入门 - 原理总结(Updating)

Preface

最近想好好打下计算机图形学的基础，于是掏出了收藏夹里积灰许久的GAMES101课程。GAMES101是GAMES ( Graphics And Mixed Environment Seminar ）系列公益课程的第一部，授课老师为UCSB的助理教授闫令琪老师。GAMES101因为专注于原理的分析与解释，并提供了BBS、助教和作业提交系统等一套完备的学习设施，课程质量广受好评。官方地址： http://games-cn.org/intro-graphics/

本文章主要包括以下几个内容：

• 计算机图形学基本原理和分析方法的记录
• 该课程作业分析和解决方案
• 该课程的部分涉及内容的拓展

因为本人比较容易遗忘原理类的知识，所以做好记录还是蛮有必要的。本文不属于详尽的内容笔记，更倾向于记录一些主观容易遗忘的重点难点。

Overview

Covered Topics

• Rasterization
• Curves and Meshes
• Ray Tracing
• Animation / Simulation

References

Fundamentals Of Computer Graphics 3th Edition

Transformation

图形学中 Transformation 的核心问题是找到一个变换矩阵 $ M $ ，使得空间中任意一个Vetcor可以利用$M$ 进行缩放、反转、切边、旋转和平移。其中平移变换的引入需要利用齐次坐标表示$M$的仿射变换，因此，在三维向量空间中$M$应为一个4x4的矩阵。 Transformation的所有内容将基于齐次坐标构建的变换矩阵。Transformation中一个重要假设是任何复合变换都可以依次分解为各个独立变换，复合变换中，优先平移，其次线性变换。

点和向量的表示

Point= $(x,y,z,1)^\intercal$ or $(wx,wy,wz,w)^\intercal$ subject to $w>0$

Vector= $(x,y,z,0)^\intercal$（$w=0$实际上保护了Vector的平移不变性）

Scale

Reflection

• 以x-axis为例， y-axis, z-axis 同理。

Rotation

• Default
  • (0, 0, 0)为原圆心
  • 逆时针
• 由于Rotation的输入为角度$\theta$，其变换矩阵的逆刚好等于转置，满足正交矩阵性质。该性质简化了视图变换$M$的推导。

以沿x-axis旋转为例， y-axis, z-axis 同理。

• Rotation也满足Transformation复合叠加的假设

• Rodrigues’ rotation formula

  罗德里格旋转公式是表达三维空间的另一种形式，其输入不再是三个轴上的旋转角度，而是选择一个单位向量 $n$ 作为旋转轴，以及 $\alpha$ 作为绕该单位向量旋转角度，公式如下：

  

View Transform

问题描述

一个3D空间向2D投影的过程包括三步：

1. model transform
2. view transform
3. projection transform

对于View Transform， 我们定义空间中的一个相机为 $(e,g,t)$，分别代表相机的Position, Look-at Direction, Up Direction（该向量定义正交于$g$）。View Transform的目标是找到一个变换矩阵

，使得相机的Position回到原点，Look-At Direction面向 ， Up Direction面向

这里运用了旋转矩阵作为正交矩阵的性质，矩阵的逆等于矩阵的转置，更加直观。

Projection Transform

• Orthographic Transform
• Perspective Transform

问题描述

投影变换是将3D空间信息转换为2D信息，而投影分为正交投影和透视投影，两者区别就是相机与近视屏幕的距离是否为无限。实现投影变换一个简单的思路就是去轴，例如通过移除Z轴我们就得到了X-Y平面的投影信息。但是显然这种方法是有缺陷的，大多时候我们期望投影变换后不会损失三维空间的信息。换言之，投影变换需要保留近视平面到远视平面形成的整个可视空间的信息。

因此，投影变换的目的是 可视空间投影到一个以原点为中心的[1,1,1]的正则空间(canonical cube)

Orthographic Transform

Perspective Transform

透视变换略微比正交变换复杂，因为透视相机的可视空间是一个截锥体（Frustum），这里闫老师给了一种很好理解的方式，我们先把Frustum转换为Cubiod，再使用Orthographic Transform的转换矩阵即可。而Frustum转换为Cubiod的推导也很有意思。

我们希望Frustum转换为Cubiod，首先需要使近远视平面大小一致，由于相机更接近于近视平面所以我们希望远视平面变小，就像四个手指头挤压远视平面一样。因此有如下条件

1. 相机已完成视图变换
2. 近视平面上的点恒定不变
3. 远视平面上点的Z轴信息恒定不变

设近视平面上的点为$(x’,y’,z’)$，远视平面上的点$(x,y,z)$，分别以$-x$和$-y$的角度去观测Frustum，根据相似三角形的信息，我们可以得到

对于远视平面上的任意点，在齐次坐标下我们可以表示为

可以腿短$M_{persp\rightarrow ortho}$满足

现在我们只有第三行的四个信息未知，再利用假设2可以得到

假设3可以得到

最后得出A,B

本节的思考题是在可视空间中非视平面上的点的Z轴的值是如何变化的，直观的感受我们知道Z轴的值肯定是变大的（因为远小），也可以利用矩阵计算验证，如下。