RSA 加密算法主要公式

RSA 是非对称的加密算法，其中它有一些相关的数学公式。 让我们从一道题开始了解 RSA 的数学公式。

计算问题

下面是一道关于 RSA 计算的问题，比较简单，可以从这道题来学习和了解关于 RSA 非对称加密算法的相关知识。当然，具体关于 RSA 加密算法的知识不能仅限于以下问题，应该更全面的了解相关的知识。但是下面的问题已经把其中的重点算法表现出来了。

问题：在 RSA 算法中，取密钥 E = 3，D = 7，则明文 6 的密文是（）。

RSA 算法的相关公式

下面是关于 RSA 的主要数学公式：

n = p * q

ø(n) = (p - 1) * (q - 1)

ed ≡ 1 mod ø(n) 

c = m**e mod n

m = c**d mod n

对上面的公式进行一个简单的说明。

• 在整个公钥体制中，e 和 n 是公开的，e 是公钥，n 是两个大素数的乘积。

• m 和 c 分别是明文和密文，这部分在所有的加密算法中都会涉及。

• 其余的 p、q、d 是保密的，p 和 q 是两个大素数，n 就是通过 p 和 q 相乘得到的，d 是私钥。

• e 和 d 的关系满足 e * d ≡ 1 mod ø(n) ，也就是说 d 是 e 的乘法逆元，或者说e * d 和 1 同 ø(n)  求模同余。 其中  ≡ 是数论中的“求模同余”的意思，而不是“恒等”的意思。

说明：其中两个 ** 是幂次方的意思，这种写法是 Python 语言中的写法，比如 7 ** 3 就是 7 的 3 次方的意思。

将题中的数带入公式

ed ≡ 1 mod ø(n)

3 * 7 ≡ 1 mod ø(n)

21 ≡ 1 mod ø(n)

ø(n) = 20

ø(n) = 2 * 10 = (p - 1) * (q - 1)

p, q = 3, 11

n = p * q = 3 * 11 = 3

上面的步骤通过 ed 得到了 ø(n)，而 ø(n) 是 20 的情况下，我们可能算出 p - 1 和 q - 1 是 4 和 5，也可能是 2 和 10。

如果 p - 1 和 q - 1 分别是 4 和 5，那么 p 和 q 就是 5 和 6，而 6 不是素数；

如果 p - 1 和 q - 1 分别是 2 和 10，那么 p 和 q 就是 3 和 11，此时两个数都为素数。

得到 p 和 q 以后，就得到了 n。

在得到 n 以后套用加密算法的公式，即可计算 6 的密文。

c = m**e mod n = 6 ** 3 mod 33 = 18

因此 明文 6 的密文是 18。

其中 6 ** 3 是 6 * 6 * 6，通过降幂可以简化为

6 ** 3 

3 = 1 * (2 ** 0) + 1 * (2 ** 1)

t0 = 6 mod 33 = 6

t1 = 6 ** 2 mod 33 = 3

t0 * t1 mod n = 6 * 3 mod 33 = 18

可以在 Python 的交互环境中进行验算：

>>> 6 ** 3 % 33
18

将密文进行解密验算

除了用 Python 验算以外，用解密算法对密文 18 进行解密，如果得到明文 6，也说明上面的计算是正确的。

m = c ** d mod n = 18 ** 7 mod 33 = 6

其中 18 ** 7 如果使用 7 个 18 相乘来手动计算，是一件麻烦的事情，所以这里使用降幂的方式来进行手动计算，是非常有必要的。

18 ** 7

7 = 1 * (2 ** 0) + 1 * (2 ** 1) + 1 * (2 ** 2)

t0 = 18 mod 33 = 18

t1 = 18 ** 2 mod 33 = 27

t2 = 27 ** 2 mod 33 = 3

t0 * t1 * t2 mod n = 18 * 27 * 3 mod 33 = 6

通过降幂计算，18 ** 7 计算起来只用了 4 步就完成了，数值也没有太大。

因此，密文 18 解密后是 6

在 Python 下进行验算：

>>> 18 ** 7 % 33
6

上面就是 RSA 的关键相关的公式，其中虽然 n 是公开的，但是实际 n 是两个非常大的素数相乘得到的（题目中的 3 和 11 这种素数太小了），很难通过 n 分解出两个大的素数，因此保证了其安全性。