比欧拉公式更美的公式！

既然提到了欧拉公式，就先感受一下他的令人着迷。

为什么说它是数学里最完美的一个公式，因为它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：

两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；

两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；

以及被称为人类伟大发现之一的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

这里面我们来着重介绍一下神奇的自然常数e。

e是自然常数(欧拉数)，它是一个无理数，定义是

怎么理解呢，举个栗子，假定有这样一家银行，它一年的存款利率是100% 。

如果只在年底结算一次利息，那么一年后我们可以连本带利得到(1+1/1)^1=2块钱。

如果每半年结算一次利息，那么一年后我们可以连本带利得到(1+1/2)^2=2.25块钱。

如果每一个月结算一次利息，那么一年后我们可以连本带利得到(1+1/12)^12=2.61块钱。

如果每一天结算一次利息，那么一年后我们可以连本带利得到(1+1/365)^365=2.715块钱。

这就是复利，利息结算次数越多，获利也就越多。

如果每一小时、每一分钟、每一秒钟......结算利息的次数为无数次，那么我们能否得到无穷无尽的收入呢？

当然是不可能的，原因就是这个自然常数e。

当x驱于无穷时，e的大小为2.718281828…，是一个无限不循环小数。

所以，e就是复利的极限，就是增长的极限。

这么完美的公式拿什么来比呢？当然是它自己。

哈哈，开玩笑的，我说的是一个可以画出自己的公式： 塔珀自指公式

这个公式是杰夫·塔珀（Jeff Tupper）发现的。

其中 ⌊ ⌋表示取底符号，表示不大于 n 的最大整数，比如⌊3.1415926 ⌋=3，⌊-3.14 ⌋=-4。

mod表示模除，比如mod (a, b) 表示 a 除以 b 的余数， mod (8, 3) = 2。

它最奇妙的就是“自指”二字，公式的二维图像与公式本身外观一模一样。

怎么实现的呢?

在直角坐标系里划出一系列小方格，小方格边长为1，如下图所示。

横轴x的取值范围是 [0, 105]，纵轴y的取值范围是 [k, k+17), k的值由要画的图决定。

如果让k=

960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 096 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 751 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719，

将每个方格的坐标带入塔珀自指公式中，如果不等式成立，则将方格涂色；如果不等式不成立，则不涂色。这样就可以将塔珀自指公式画出来了。

为什么能拿来和欧拉公式相比，因为当k=

235203593994965812214082964919796092930697481362502826329293

478195407359549554461414064845734246156488732522345562080420

479601143495511102237660163585321047663331899199046219268799

910930820947231541971365223818596751873135459698467669828802

5582563654632501009155760415054499960，

就可以画出欧拉公式了，

是不是很神奇？其实仔细思考之后，你会发现这个一点都不神奇。就像魔术揭秘一样，说穿了也就没什么意思了。

在塔珀自指公式里，不等式右边的式子可简化为y div 17 * 2^(-17x – y mod 17) mod 2，

其中div是整除运算，是在整数运算中求一个整数a以另一个整数b时取整数商的运算，且不考虑运算的余数。

对于一个w位的二进制数来说，它与2的k次方的乘积，等同于这个二进制数左移k位。

所以z * 2^(-k) mod 2相当于二进制数z右起第k位上的数字。

对于某个自然数k，当17k ≤ y < 17(k+1)时，指数-17x – y mod 17恰好对应所有的负整数，于是位于17k和17k+16之间的图象的每个像素和k的二进制中的每一位数字一一对应。

当纵坐标足够大时，必然会出现一段高度为17的图像，图像和公式本身外观一模一样。

那么，我们的问题就在于如何找到k的值，可以将公式的单色位图化成二进制后乘以17：

1、选定一张像素为 106 × 17 的图片。

2、考察每个像素，如果像素着色，标记上 1，如果没有着色，标记上 0。

3、从左下角向上，将每个像素标记的1或0依次写下来，把标记的1和0依次排列起来，依次记下第一列 1、0 序列，然后记录第二列，也是从底部向上开始记录。然后依同样方法，依次记录第三列、第四列、……，一直到第 17 列，最后得到一个 1802 位的二进制数。

4将此 1802 位的二进制数转换成 10 进制数，将所得之数乘以 17，就是我们要求的 k。

编辑 ∑Gemini

来源：数学职业家